Полугруппы с особенностями и абстрактные операторы Бесселя в обобщенных пространствах Степанова

• Автор: Писарева, Светлана Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 90 с.

Глава I. Полугруппы с особенностями

§ 1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства

§ 1.2 Оператор-функции и полугруппы

§ 1.3 Задача Коши для дифференциальных уравнений

первого порядка

Глава II. Обобщенные пространства Степанова

и абстрактные операторы Бесселя

§ 2.1 Пространства Степанова

§ 2.2 Обобщенные пространства Степанова

§ 2.3 Эквивалентные нормировки в обобщенных

пространствах Степанова § 2.4 Полунормы Вейля

§ 2.5 Пространства
§ 2.6 Об оптимальности пространств 5^ в
функциональных решетках (структурах)
§ 2.7 Абстрактные интегралы дробного порядка Бесселя
Глава III. Приложение к эволюционным уравнениям
§ 3.1 Эволюционные уравнения с особенностями на
действительной оси § 3.2 Задача Коши для дифференциального уравнения с
особенностью
Литература

Пусть ^ и и - метрические пространства с соответствующими метриками рр и рц. Согласно Адамару [1] задача определения решения иеи уравнения
Аи = /, (1)
где / £ А1 задано, называется корректно поставленной на пространствах (Р, и), если выполняются условия:
а) для всякого / £ А1 существует и £ II - решение уравнения (1);
б) решение определяется однозначно;
в) задача устойчива на пространствах (А, и), то есть для любого е > 0 можно указать такое 5 > 0, что из неравенства р^(/ъ /2) < Ф следует ри{и, и2) < £■
Важно отметить, что устойчивость задачи (1) зависит от выбранных топологий В и и^и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора А~1, существования которого обеспечивают условия а) и б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответствия А и нормированных пространств Л и А1 (см. [21]), устойчивость будет иметь место, если пространство Т1 наделить нормой
ИЛЬ = 1И_1/1 и = N1 и,
и тогда
||л"1||=8ир!!1ЛГ£ = 1-/^о иль
Однако, обычно топологии навязываются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.
В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи А1 и решения II:
1. С одной стороны желательно, чтобы эти топологии не зависали от оператора А. Например, в случае когда А = А(А) - оператор, зависящий от некоторого параметра А, важно, чтобы область
определения обратного оператора А“1 (Л) (например, резольвенты R(,A) = (А — А/)-1) была независящей от А.
2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкие пространства данных задачи F, при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "пространстве U.
Наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций /(ж), iGfiC Rn
Lp(Q) = {f(x) '■ WfWh = [ [f(x)pdx]r, p > 1};
J n
C(Q) -пространство непрерывных и ограниченных в Г2 функций с нормой
||/||с = sup |/(ж)|;

С^(42) - пространство непрерывных, вместе со своими прозводными до порядка I, функций

СЩ = {/(х) : /<*>(*) £ С(П), Н/Цоо = 53 ||/<‘>||С,/ = 1,2,...};
к=О
Wp(£l) - пространства C.J1. Соболева
Wj(fi) = №)■■ /МИе ll/ll, = 53 ||/<‘)|U,, г = 1,2,...}.
к=О
В зависимости от задачи, наряду с этим используются также и весовые пространства
LpAQ) = if(x) : P(x)f(x) 6 LP{Q), \Дь„ = [ [ P(x)f(x)pdx]?, p > 1},
J n
СР{П) = {/(ж) : p{x)f(x) E C(Q), \f\c, = sup p(x)f(x).
Например, рассмотрим задачу Коши для простейшего дифференциального уравнения
и(х) = f(x),x Е [0, т), /(ж) е С([0, г)) (2)

Так как е > 0 произвольно, то мультипликативное неравенство для норм обобщенных пространств Степанова доказано.
Следствие 2.2.1. Пусть 1 < г < р < г2 и кр = №?(!;), кп = къ{Ь),кГ2 = къ{€) соответствующие им веса. Тогда, если
I 1 1 1 I
Д = 7р 71 72 = О, I р п г2
то справедливо мультипликативное неравенство
|<5 |ir||l-d
\f\s±k < \f\s± к • IU II5* , >
Р>*Р игг,кГ1 0г2,кг2
г т(р-г)
где <5 = .
Лемма 2.2.8. Если k(t) не ограничена, то множество ограниченных функций на Я1 не плотно в пространстве Spl k(E).
Доказательство. Рассмотрим случай пространства S^lk(E). Определим dn = {t = n + s, s 6 en} — сдвиги множеств en из леммы
2.2.1. Пусть rn = (fe k(t)dt)llp и h G Е из леммы 2.2.1. Рассмотрим функцию

/(<) = A^_Xdn(t).
1 Гп
Тогда при I = 1 для любой функции g(t),\g(t)\E < С < оо справедлива оценка
\f -9\s+kl=sM[ *(*)И/(5 + *) ~ 9(s + t)\pEdt)p >
v'ki Jo
>{[ k(t)\f{n + t) - g{n + t)\pEdi)p >

> ( f Ht)\f{n + i) - 9(n + t)\pEdt)v >

( [ к(Ь)(1/гп)рХеп(*)Р<й)* ~ ( [ 4t)CPXen{t)dt)*
J Cji ß n
= II^-IIje; — (C' /* k(t)dt)p
J en
)’ -»• /I £