Системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнения с запаздывающим аргументом

• Автор: Уварова, Ирина Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 149 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Система без возмущений
§ 1.1. Постановка задачи
§ 1.2. Формулы решения задачи Коши
§ 1.3. Свойства функций ч/ф(4)
§ 1.4. Предельные теоремы на отрезке
§ 1.5. Асимптотическое поведение решений системы
§ 1.6. Предельные теоремы на полуоси
§ 1.7. Непрерывная зависимость решений уравнения с запаздывающим аргументом
§ 1.8. Обратная теорема на полуоси
§ 1.9. Асимптотическое поведение решений уравнения с запаздывающим аргументом
Глава 2. Система с линейными возмущениями
§ 2.1. Предельная теорема для задачи Коши с нулевыми начальными данными
§ 2.2. Предельные теоремы для задачи Коши с ненулевыми начальными данными
§ 2.3. Непрерывная зависимость решений уравнений с запаздывающим аргументом
§ 2.4. Аппроксимация решений уравнения с запаздывающим аргументом
Глава 3. Система с нелинейными возмущениями
§ 3.1. Разрешимость задачи Коши на полуоси {£ > 0}
§ 3.2. Предельная теорема для задачи с нулевыми начальными данными
§ 3.3. Предельные теоремы при ненулевых начальных данных ... 135 Литература

Введение
Многие математические модели естествознания описываются с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности
i = 1
К таким системам приводят также классические способы построения приближенных решений краевых задач для уравнений с частными производными (например, методы Фурье, Галеркина и т. д.). Поэтому изучению систем высокой размерности (задача Коши, краевые задачи, методы построения решений, качественные свойства решений, теория устойчивости) посвящено очень много работ (см., например, монографии [3,6,20] и имеющуюся в них библиографию). При этом совершенно естественно рассматривать системы (1), как “укороченные” системы счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
dec'
- = Fi(t,x i,ar2
Отметим, что построение теории счетных систем дифференциальных уравнений началось с появления знаменитой работы А.Н. Тихонова [39], в которой впервые были доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (2). Активные исследования таких систем начались в 50-е годы после работ М.А. Красносельского, М.Г. Крейна, С.Г. Крейна, К.П. Персидского и др. (см., например, [6,18,36]). Во многих работах результаты получались с использованием методов функционального анализа и “укороченных” систем дифференциальных уравнений вида (1), имеющих высокую размерность.
Другой подход к изучению систем высокой размерности (1) заключается в сведении к исследованию систем обыкновенных дифференциальных уравнений малой размерности. Однако существует целый ряд важных научных задач, которые принципиально не могут быть сведены к исследованию систем дифференциальных уравнений малой размерности (см., например, [1]). В частности, к системам очень высокой размерности приводят исследования в биологии (см., например, [10,23,42]). При этом размерность систем может достигать настолько больших величин,
Отсюда
Зп < -иы {пЬ){п~г~1) у {шпЬ)к
п-ДО-е (П_*_1),2(П_1)Л-

00 ( +к
Для сходимости степенного ряда ]Г) необходимо и достаточно,

чтобы < 1. Это неравенство выполнено при больших п яО < t < т. Действительно, условие < 1 эквивалентно неравенству Дп — 1 — 0т) < т(п — г — 1), которое выполнено при п > 9т + 1 + уту(* — 0Г) и
0 < £ < т. Тогда
г-п т 1 По1оч
- 6 (п-«-!)!(!-5)- (1'ЗЛ8)
Используя неравенство Стирлинга (1.3.16), получаем, что при п > вт +
1 + — 0т) выполнена оценка
Т .(( I < 1
”-и У2Ц~- 1) (1 - 5) и-«
Отметим, что величина
, , + п-г
иУ, С/ 1 а>71
-е л-*“1

ограничена, так как 0 < же1 х < 1 при х > 0. Кроме того, для всех £ £ [0, т(1 — е)] имеем
Д > £/2 при п > 29т — г + 1 + 2е~1(г — вт).

Следовательно, при £ £ [0, т(1 — г)] и п > 29т — г + 1 + 2г_1(г — 9т) выполнено неравенство
ЯЦЮ < —щ-2 . (1.3.19)
£л/27г(п — г — 1)
Отсюда вытекает равномерная сходимость на отрезке [0,т(1 — е)]
Д’ДДД —> 0, п > оо.