Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца

• Автор: Амбарцумян, Ваграм Эдвардович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 131 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 О базисности собственных функций видоизмененной задачи Франкля

1.1 Собственные значения и собственные функции видоизмененной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода

1.1.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля

1.1.2 Нахождение общего решения уравнения (1.1)

1.1.3 Нахождение собственных значений и собственных функций поставленной задачи

1.2 О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности второго рода

1.2.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля

1.2.2 Нахождение собственных значений и собственных функций задачи

1.2.3 Полнота возникшей в собственных функциях системы синусов в Ьр(0, |), р >

1.2.4 Базисность Рисса системы собственных функций в
Г2(£>+)
1.3 О базисности собственных функций задачи Франкля с
нелокальным условием нечетности второго рода
1.3.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля с
нелокальным условием нечетности второго рода

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.3.2 Нахождение собственных значений и собственных
функций задачи
1.3.3 Полнота, базисность системы синусов, возникших в
собственных функциях
1.3.4 Базисность системы собственных функций в Ьг(И+)
1.3.5 Исследование задачи при нулевых значениях параметров
2 Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для гармонических функций в полукруге
2.1 О разрешимости нелокальной краевой задачи с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Единственность и существование решения
2.1.3 Интегральное представление решения
2.1.4 Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина
в различных пространствах
2.1.5 Постановка сопряженной задачи. Единственность и
существование решения, интегральное представление решения
2.2 О разрешимости нелокальной краевой задачи
противоположными потоками на части границы и
сопряженной к ней задачи
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Единственность и существование решения
2.2.3 Интегральное представление решения
2.2.4 Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина
в различных пространствах
2.2.5 Постановка сопряженной задачи. Единственность,
существование, интегральное представление решения
3 Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.1 О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Единственность решения задачи (3.1)- (3.5)
3.1.3 Существование решения задачи (3.1)- (3.5)
3.1.4 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование решения
3.2 О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с противоположными потоками на части границы
и сопряженной к ней задачи
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Единственность решения задачи (3.37)- (3.41)
3.2.3 Существование решения задачи (3.37)- (3.41)
3.2.4 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование решения
ЛИТЕРАТУРА
ГЛАВА 1. Задача Франкля

и граничным условиям
Г 7П
и( 1, в) = 0, 9 Е 0, — - в полярной системе координат, (1.2)

Ч0,у) = 0, У €[-1,1], (1.3)
>< lim иу(х, у) = lim иу(х, у), х € (0,1), >с Е М, (1.4)
у—*+о у->-о

= уе0, 0 < N < /И- х2, к€К, (1.5)
где D+— область в верхней полуплоскости, ограниченная окружностью
7 = {(ж,у) : ж2 + у2 = 1}
и сегментом [G, 1] оси Оу, a D_ = D-1 U D_2— область в нижней
полуплоскости, где D-1 ограничена характеристиками
у = х - 1, у
и сегментами [0, 1] оси Ox. Z?_2 ограничена характеристиками
у = ж - 1, у
и сегментом j — 1, 0] оси Оу.
1.1.2 Нахождение общего решения уравнения (1.1).
Выпишем общее решение в эллиптической части. Перейдем к полярной системе координат ж = г cos 9, у = г sin/?. Учитывая, что rx — cos в,
л sin# „ _ о л sin2# л — cos 09тТ Чтт sin в sin
ОX — r ! 'XX — 0111 U UX — r 1 ихх — г2 — г2 !
л cos# „ „„„ д д cos2 в
У у — г , Гуу — COS t) t)y
в полярной системе координат примет вид:
) вуу ~ уравнение (1.1)
/ ? „ . о л ~ ( sin9cos6 sin/?cos0
urr (cos2 9 + sm2 9) + 2 urg H - J +
/,— sin0N2 /COS 9s2 /sin2 9 COS 29
+ulll((—r-) + (—))+*(— + —) +
/sin 2 9 sin2/?
+U<>{—2