Исследование задач качественной теории вполне разрешимых уравнений

• Автор: Гайшун, Иван Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 281 c. : ил

Глава I. Линейные уравнения

§ I. Условия существования решений

§ 2. Общие понятия устойчивости движений

§ 3. Линейные стационарные уравнения

§ 4. Неавтономные уравнения

§ 5. Представление Флоке-Ляпунова

§ 6. Приводимые уравнения

§ 7. Характеристические функционалы решений

§ 8. Периодические решения

Глава II. Нелинейные автономные уравнения

§ 9. Общие свойства автономных уравнений

§ 10. Выпрямляемость и структура окрестности регулярной точки
§ II. Свойства выпрямляемых уравнений
§ 12. Гомоморфизмы Барбашина динамических систем
§ 13. Уравнение и/сцу,и) = <р(^, а)
§ 14. Предельные точки по фильтру
§ 15. Устойчивость по Пуассону
§ 16. Устойчивость точек покоя ,
§ 17. Критерии устойчивости и асимптотической устой
чивости
Глава III. Многомерные дискретные системы
§ 18. Основные понятия. Примеры
§ 19. Условия полной разрешимости
§ 20. О связи непрерывных и дискретных уравнений

§ 21. Линейные уравнения
§ 22. Приводимые уравнения
§ 23. Правильные системы
§ 24. Периодические и почти-периодические решения
§ 25. Метод функций Ляпунова
§ 26. Степень разрешимости
§ 27. Общие свойства многомерных дискретных систем, не
являющихся вполне разрешимыми
Литература

Дифференциальные уравнения с многомерной независимой переменной (многомерные дифференциальные уравнения, уравнения с "векторным временем") образуют важный и сравнительно малораз-работакный раздел теории дифференциальных уравнений. По формальным признакам этот раздел часто включают в теорию уравнений с частными производными (поскольку в случае конечномерных пространств - это специального вида уравнения с частными производными; более того, введением дополнительных переменных любую систему уравнений с частными производными можно записать в виде некоторой системы многомерных дифференциальных уравнений [154]). Однако по внутренней структуре теория уравнений с "многомерным временем" непосредственно примыкает к теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В настоящей работе основным объектом исследования является многомерное дифференциальное уравнение вида
^' = Н*.У), (I)
где ос, ^ - элементы некоторых банаховых пространств Б и Г , а | - непрерывная функция, заданная на открытом множестве
1Г х V произведения Б * Б и принимающая значения в пространстве Б(Е ; Г) линейных ограниченных отображений Е в Б . штрих означает производную Фреше (впрочем, для большинства полученных результатов производная Фреше могла бы быть замененной производной Гато, см. [146, 147]). На протяже-

чиво, если в качестве СЯБ взять произвольное компактное множество.
б) Пусть 1р: ,В=Б(о^),Т={1,г}, 9 = {з.} ♦ Систему движений (1,тд,а) определим следующим образом:
X • В этом случае
*(£>А>,2»)= йгах{с((^х),ср(х0)),ф(х,х())}

и устойчивость точки (2,ОС0) означает непрерывность <р в точке 0Со . Отметим, что в схему этого примера легко включается понятие устойчивости систем автоматического регулирования, отождествляемое с непрерывностью оператора "вход-выход" (см. [12, 76, 86]). Если же ф(х) есть решение некоторого операторного уравнения А ^ = х »то устойчивость системы движений 61) означает корректную разрешимость этого уравнения (см., например, [174]).
в) Без труда строятся пространство 0. , множества
X , фильтры Ь и 5 , а так же система движений (|,Т,9,ф) » позволяющие из приведенных выше определений получить различные понятия устойчивости решений в смысле А.М.Ляпунова обыкновенных дифференциальных уравнений , импульсных систем, уравнений Пфаффа [21-23, 117, 176].
В связи с вопросами устойчивости решений уравнений Пфаффа надо отметить следующее. В большинстве работ по теории устойчивости таких уравнений (см., например, [22, 68]) принято следующее понятие устойчивости. Рассматривается вполне интегрируемое уравнение
с(х= Р,(Дх)Д| + - + РтС^,ос)сагт, (2.1)
*еГ,хСО<Х, Р;ед=о (1=1 т.) . Решение ха)=0 называется