Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков

• Автор: Балкизов, Жираслан Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 150 с.

Оглавление
Введение

Глава I. Локальные краевые задачи для уравнений параболо

— гиперболического типа второго порядка

1.1. Аналог задачи Трикоми

1.2. Краевая задача для уравнения с разрывными коэффициентами

1.3. Краевая задача в характеристическом многоугольнике

1.4. Первая краевая задача с отходом от характеристик

Глава II. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с

оператором Геллерстедта

2.1. Аналог задачи Трикоми для модельного уравнения

2.2. Смешанная задача с производной второго порядка в граничных условиях
2.3. Аналог задачи Трикоми для общего уравнения
2.4. Нелокальная краевая задача для общего уравнения
Глава III. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с
оператором Бицадзе-Лыкова
3.1. Нелокальная краевая задача для модельного уравнения
3.2. Аналог задачи Трикоми
3.3. Смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Основополагающую роль в становлении теории уравнений смешанного типа сыграла монография Ф. Трикоми [97], вышедшая в 1947 г. в русском переводе Ф.И. Франкля, который обнаружил очень важные приложения задачи Трикоми к теории установившихся смешанных до- и сверхзвуковых течений и привлек внимание математиков и аэродинамиков к разработке этой чрезвычайно интересной и актуальной тематики, в частности отметил, что уравнение Чаплыгина К (а) фев + Фаа — 0 для функции тока ф = ф(в, а) имеет эллиптический тип при дозвуковом и гиперболический тип при сверхзвуковом течении газа.
В работах [94, 95] С. Геллерстедт исследовал обобщения задачи Трикоми для более общих уравнений эллиптико-гипсрболического типа.
В настоящее время краевые задачи для уравнений смешанного типа стали важным разделом современной теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Значительную роль в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа сыграли работы А.В. Бицадзе [31] - [33], В.И. Жегалова [41] - [44], М.М. Смирнова [87], М.С. Салахитдинова [82], [85], [86], О.А. Репина [72], Т.Д. Джураева [36], [37], Е.И. Моисеева [56], А.М. Нахушева [60] -[63], А.П. Солдатова [88], Т.Ш. Кальменова [47].
Диссертация посвящена исследованию краевых задач для уравнений смешанного нараболо-гииерболического типа второго и третьего порядков.
Достаточно полная библиография по теории краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков содержится в монографии [36].

В связи с рассматриваемыми в диссертации вопросами отметим работы [1], [26]-[30], [34], [38]-[40], [45]-[46], [48]-[54], [57]-[59], [64]-[68], [70], [73]-[76], [77]-[81], [83], [84], [89], [92], [93].
Работа выполнена в рамках темы "Нелокальные дифференциальные уравнения смешанного типа и их применение к динамическим системам "отдела Уравнений смешанного типа НИИ ПМА КБНЦ РАН (№ гос. регистрации 01201361965).
Цель диссертационной работы состоит в исследовании на однозначную разрешимость локальных и нелокальных краевых задач для уравнений па-раболо-гиперболического типа второго и третьего порядков.
Результаты работы получены с использованием следующих методов: метод априорных оценок; принцип экстремума; элементы дробного исчисления; метод функции Грина; метод интегральных уравнений.
Имеющими существенное значение в теории дифференциальных уравнений смешанного типа результатами работы являются:
Теорема существования и единственности решения аналога задачи Три-коми для общего уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности.
Теоремы единственности решения аналога задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с разрывными коэффициентами.
Теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка.
Теорема единственности решения краевой задачи для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка в характеристическом ше-

+ J —ках + аа + @с — у/—к{—ау + аЬ + 7с) и2йу+ св

+ У /? (ки2х - и2) + 27кихиу + T-k~j (ки2х — и2) — 2(5Г-кихиу св
= Л (<7г) + Л (^2) + Ф (стг)
Преобразуем интеграл
д и2 <
"97 У ~ ~ду
- - У + ^ф) = - У (и2) =
св св
— У и2й ^а/—— а (г, 0) /~& (0)п2 (г, 0) = св
= J и2 (у~кахйх + + а ^ Ф^ —а (г, 0) 7/—к (0)н2 (г, 0)
Л Ы = / а (к ^-л, - 9-^Лх) = / с §^* -
СВ св
св Тогда
'-кау — ках + а (/-£) ) и2(1у — а (г, 0) у/—к (0)и2 (г, 0).
ф (02) + а (п 0) /—& (О)«2 (г, °) = у — &ах + а ^л/—& ^ ) и2с1у,

а, значит,
J (<т2) + а (г, 0) у/—к (0)и2 (г, °) = У - &ах + « (у~к^ ^ и2ф+
4- У -А;ах + ста + /?с — (—ау + аЬ + 7с)

и2<1у+
+ J (3 (ки1 — -и2) + 2'укихиу + T-k~j (ки2х — и2) — 2(3^кихиу^ йу, св