Смешанная задача для волнового уравнения в области с углом

• Автор: Ткачев, Дмитрий Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 173 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Три примера постановок задач.
2. Исторический обзор. Постановка основной задачи.
3. Основное содержание работы. Методы исследования. Структура работы.
4. Формулировка основных результатов.
ГЛАВА I. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВ-
НЕНИЯ В КООРДИНАТНОМ УГЛЕ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА РЕБРЕ.
§1. Постановка задач и основные обозначения.
§2. Получение априорной оценки решения модельной задачи.
2.1. Сведение смешанной задачи (А1о) к смешанной задаче для симметрической системы.
2.2. Условия диссипативности краевых условий (2.4') и (2.5'). Получение априорной оценки решений смешанной задачи (А10) в
2.3. Исследование матричных неравенств (2.1б/) и (2.19/). §3. Получение априорной оценки смешанной задачи (А1).
§4. Исследование смешанной задачи (АП). Вывод априорной оценки решения.
ГЛАВА II. КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ И ОБЩЕГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КООРДИНАТНОМ УГЛЕ.
§1 Априорная оценка решения и условия корректности смешанной задачи (В).

ГЛАВА III. ПРИМЕРЫ НЕКОРРЕКТНОСТИ В СМЕШАННОЙ
ЗАДАЧЕ (В)
§1 Постановка задачи и основные обозначения. Приведение задачи к каноническому виду
§2 Примеры некорректности в случае двух пространственных переменных и вещественных коэффициентов граничных условий
§3 Примеры Адамара в случае вещественных коэффициентов
граничных условий. Область некорректности задачи
§4 Область некорректности задачи (1.1)—(1.4) в случае комплексных коэффициентов
ГЛАВА IV. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В КООРДИНАТНОМ УГЛЕ — ПРОБЛЕМА (В0). УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ, АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА В ЛУВД)
§1 Конструкция формального решения задачи (Во) и его единственность
§2 Получение интегрального представления функций г(Су) и

§3 Априорные оценки решения
§4 Условия разрешимости задачи (1.26), (1.29) и (1.31) в декартовых координатах. Существование решения
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Смешанные задачи для гиперболических систем и уравнений в областях с особенностями на границе (угловые или конические точки, пики, рёбра и т.д.) вызывают большой интерес у математиков ввиду того, что математическое моделирование различных физических задач приводит к необходимости рассматривать подобные проблемы. Ограничусь описанием лишь двух таких весьма близких к реальности ситуаций.
1. Три примера постановок задач.
В физическом плане первая ситуация такова: равномерный поток невязкого, нетеплопроводящего газа, находящегося в состоянии локального термодинамического равновесия, стационарно обтекает плоский клин с углом а.
Для исследования устойчивости такого стационарного гидродинамического течения нужно изучить смешанную задачу для системы уравнений акустики. Именно, А.М.Блохин [5] после ряда упрощающих процедур (и прежде всего — линеаризации уравнений газовой динамики, соотношений Рэнкина - Гюгонио на ударной волне [39] относительно известного разрывного решения) сформулировал такую смешанную задачу: при £ > 0 требуется найти решение системы уравнений
А111 + В11х -Ь Саиу — О,
(0.1)
которое удовлетворяет следующим краевым условиям: на границе х = 0:
щ + йщ = 0, щ + щ = 0, д2 = А Ду/ф, Ft + Fyta.ua -/ЛЩ]
(0.2)

2а(1 -/?)

С11 С2
С21 С22
сц — {и — Ь)(1 + /З)2 + 2 <т(а + 1)(1 + /3),
С12 = с21 = (2аа + а - /3)(1 + /3) + 2а2(а + 1),
с22 = (а + )(1 ~ 0) 3" 2а(а — 1)(1 + /3) + 4<т2(а + 5),
?1Л(#,0) + ?2-В(<,0) + о) > О,
?1 > 0, qqz - д > О,
(0.69)

1 (а -/3)(1 + Ъ) Ъ — а ,в = 1 0 - (а + 1)
2а Ь — а V (а + /3)(1 — Ь) - (а + 1) 2(* + /3) )

' Си Си
2а(1 - 6)
С21 С22
Сц — (а — /3) (1 4- 6)2 + 2а(а + 1)(1 + Ь),
Си — с21 = — (2а<т + а — Ъ)(1 + Ъ) — 2а2(» + 1),
с22 = (а +/3)(1 - Ь2 + 4а2) + 2а(а - 1)(1 + 6).
2. Проведён анализ полученных матричных неравенств (0.68), (0.69). Выяснилось, что они эквивалентны! и при постоянных коэффициентах достаточно потребовать соблюдения равномерного условия Лопатинского только на одной грани и справедливость соответствующего соотношения (0.68) или (0.69) на ребре Г — равномерное условие Лопатинского на другой грани выполняется автоматически.