Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея

• Автор: Долгарев, Иван Артурович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 120 с.

1 Системы дифференциальных уравнений
с частными производными, определяющие
поверхность в геометрии Галилея
по коэффициентам квадратичных форм
1.1 Элементы геометрии Галилея
1.2 Постановка задачи отыскания поверхности пространства - времени Галилея по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм
1.3 Метод последовательного интегрирования
1.4 Решение системы дифференциальных уравнений
1.5 Поверхность пространства-времени Галилея с заданными квадратичными формами
1.6 Условия для коэффициентов квадратичных форм поверхности
1.7 Использование второй системы дифференциальных уравнений
с частными производными
1.8 Решение системы дифференциальных уравнений в случае х2и — Е
1.9 Свойства рассматриваемых систем уравнений с частными производными
2 Система дифференциальных уравнений с частными производными, имеющая постоянные коэффициенты
2.1 Задача получения поверхности по постоянным коэффициентам
2.2 Теорема для системы уравнений, имеющей постоянные коэффициенты
2.3 Решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2.4 Поверхность пространства-времени Галилея Г3
2.5 Решение системы дифференциальных уравнений при х2и = Е
2.6 Свойства решаемых систем дифференциальных уравнений

3 Частные виды систем дифференциальных
уравнений
3.1 Дифференциальные уравнения, описывающие векторную функцию, которая имеет постоянный модуль
3.2 Коэффициенты квадратичных форм поверхности
являются функциями только одного параметра
3.3 Системы дифференциальных уравнений для поверхностей с заданными коэффициентами квадратичных форм
4 Приложение
4.1 Кривые и поверхности в пространстве-времени Галилея
4.2 Мировая линия движущейся точки лежит на круговом цилиндреЮЭ
4.3 Локальная определяемость поверхности
4.4 Мировая линия движущейся точки лежит на поверхности пространства - времени Галилея
Список литературы

Настоящая работа посвящена получению уравнений поверхностей в геометрии Галилея по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм, при помощи формирования и аналитического решения систем дифференциальных уравнений с частными производными.
Задача отыскания поверхности по коэффициентам ее квадратичных форм возникла в евклидовой геометрии. Основоположниками теории поверхностей являются К.Ф. Гаусс (1777- 1855), Г. Монж (1746 - 1818), в России -Л. Эйлер (1707 - 1783), K.M. Петерсон (1828 - 1880), создателем современной русской школы дифференциальной геометрии является С.П. Фиников (1883 - 1964), см. [26], [53], [54], [63], [64], [65], [66], [68], [69]. Теорема об описании поверхности коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм является основной теоремой теории поверхностей евклидова пространства. Впервые основная теорема доказана K.M. Петерсоном в 1853 году в неопубликованной работе - кандидатской диссертации [26], с. 300-302; [53], с. 44; имеется современная публикация работ K.M. Петерсона [39], [40], (о работах K.M. Петерсона см. [26], с. 591). Первая публикация основной теоремы теории поверхностей принадлежит О. Бонне, 1867, [60]. Работы К.Ф. Гаусса [53], [65], K.M. Петерсона [39], [40], О. Бонне [60], Г. Майнарди [67], Д. Кодацци [61], [62], привели к получению условий интегрируемости систем дифференциальных уравнений в доказательстве основной теоремы [53], с. 58, выражающиеся формулами Гаусса - Петерсона - Кодацци. Об исследованиях в этом вопросе см. также [53], [72]. Основная теорема носит название теоремы Бонне (в некоторых пособиях она называется теоремой Петерсона, см. [36], с. 202 и др.)
K.M. Петерсон доказал, что поверхность определяется заданием коэффициентов Е,Е',Е" первой квадратичной формы, главными кривизнами р
и углом v одной из линий кривизны и координатной линии на поверхности. Последние три величины определяются коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности. Отсюда следует вывод об определяемости поверхности коэффициентами первой и второй квадратичных форм, [26], с. 30; [39].

2.2 Теорема для системы уравнений, имеющей постоянные коэффициенты
Теорема 2. Решением системы дифференциальных уравнений
х1 + у1 = Е,
~$ЁУи,
'Сии
Уии = щХ.

ХШ ~ ~рщУи УиЬ
ХН ~ ~~^Уич
(2.1)
Уи — ^/~£Хи
где коэффициенты Е > О, А, В, С постоянны на односвязной области Б евклидовой плоскости при услови
АС> О,
являются компоненты х = х(и,Р),у — у(и,Р) векторной функции г(и,Р) вида:

г(и,г) = (-^втш + 1 + с3,соей) + \ —с2£ + с4),

А А
Ш — —;=и +
у/Ё

Если А = 0, то определяется функция:
г{и,Р) = (у/ЁсовСои — 1/2СвтсоР2+ сП + Сз, У^тсон-И^СсовСо^ + Сг^ + сД здесь Со ф ±|п,п € N.Начальные условия (1.21) г(и0ф о) = а = {а1, а2);
ги(щНо) = Ъ = {<ЬЬ2), \Ъ\ = у/%,Е0 = (и0фо);
п(и0ф0) = с= (с1,с2);(щ,^) £ Б.
определяют единственное решение системы.
В записи векторной функции г (и, Р) явно присутствуют все заданные ненулевые постоянные величины (1.13) с учетом доказанного ниже утверждения 7: В2 = АС.