Асимптотическое интегрирование задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми

• Автор: Абоод Хайдер Джаббар
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 103 с.

Глава 1. Уравнения второго порядка

§1. Обоснование метода усреднения

§ 2. Построение асимптотического разложения решения

и обоснование асимптотики

§ 3. Некоторые обобщения

Глава 2. Уравнения третьего порядка

§1. Существование решения и его асимптотическая близость

к стационарному решению усредненного уравнения

§ 2. Построение и обоснование полной асимптотики решения .... 70 § 3. Некоторые обобщения

Глава 3. Уравнения п-го порядка

§1. Построение формальной асимптотики

Литература
Решения дифференциальных уравнений, как правило, не удается представить в квадратурах, выраженных через элементарные или специальные функции. В связи с этим, очень важен вопрос приближенного решения дифференциальных уравнений. К приближенным методам относят численные и асимптотические методы. В диссертации рассматриваются уравнения, содержащие большие высокочастотные слагаемые. Присутствие высокочастотных слагаемых (не говоря уже о том, что они большие) создает известные серьезные проблемы их непосредственного численного решения. Поэтому к таким уравнениям обычно вначале применяют асимптотические методы. Задачи, рассматриваемые в асимптотической теории условно разбивают на два класса: регулярно возмущенные и сингулярно возмущенные (см. [1]). Задачи с быстро осциллирующими коэффициентами являются сингулярно возмущенными.
Важным асимптотическим методом исследования дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми является метод усреднения, который также называется методом Н. М. Крылова — Н. Н. Боголюбова — Ю. А. Митропольского (см. [2]—[4]). Приведенные в диссертации исследования посвящены дальнейшему развитию классической теории усреднения. Отметим, что уравнения с высокочастотными слагаемыми часто встречаются в различных разделах естествознания.
В основных теоремах классической теории метода осреднения [2] (см. также [4]) исследуются системы обыкновенных дифференциальных уравнений в так называемой стандартной форме. Их можно представить в следующем виде

— = /(ж,оА), ш>1, (0.0.1)
где f(x, т) обладает средним по т:

Напомним, что для ^-периодической вектор-функции /(ж, г) среднее определяется формулой:
В последующих многочисленных работах'результаты теории метода усреднения [3] были перенесены на новые различные классы уравнений, как обыкновенных дифференциальных, так и в частных производных (см., например, [4], [5]) и библиографию в них. Здесь мы отметим лишь исследования, в которых рассматриваются уравнения с быстро осциллирующими во времени членами, среди которых имеются пропорциональные положительным степеням высокой частоты осцилляций.
Первыми среди таких работа являются исследования Н. Н. Боголюбова [7] и П. Л. Капицы [8] о том, что в результате высокочастотных вибраций точки подвеса математического маятника его верхнее положение может стать устойчивым.
В работе В. Н. Челомея [9] было показано, что высокочастотные сжатия-растяжения балки могут повышать ее устойчивость.
В работе С. М. Зеньковской, И. Б. Симоненко [10] показано, что с помощью высокочастотных вибраций сосуда с подогреваемой жидкостью можно подавить конвекцию.
В известных работах В. М. Волосова [11, 12] (см. также [4]) исследовались так называемые системы уравнений с быстрыми и медленными переменными.
В работах В. В. Стрыгина [13, 14] предложен эффективный алгоритм асимптотического интегрирования некоторых классов уравнений с высокочастотными членами.
В 1991 г. В. И. Юдович в своих лекциях по методу усреднения на мехмате Ростовского государственного университета отметил актуальность развития теории усреднения для уравнений (обыкновенных дифференциальных и в частных производных), содержащих быстро осциллирующие сла-

в котором и € К. — параметр. Уравнение
/г/ N , дМу>т) ,
^3 ={Му,г) + —^—р(у,:
назовем усредненным. Предположим, что оно имеет стационарное решение V = щ, т. е. для функции
ф(и) = (Л(«,т) + ^~~-(р(и,т)}
справедливо равенство Ф(по) = 0.
Будем также предполагать, что решение щ невырожденное, т. е.
Рассмотрим матрицу
^ 0 1 (Л

0 0 1 ^ Ф'(ио) 0 0 J
Уравнение |G — А£?| — 0 имеет три различных корня Ацгд ф 0. Поэтому спектр матрицы etG состоит из собственных значений etXl, etXi и etXl. Обозначим через ti такое положительное число, что Aiii, Аг^1, АзН 2лкг,
к е 1.
Напомним определение пространства Гельдера С^([0, ij), р G (0,1]. Оно состоит из непрерывных функций и [0, ii] —> М, удовлетворяющих условию:
„ и , u(t") - u(t')
И L = sup luit) + sup г— 77 — < OO.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1.1. Существует такое положительное число ujq, что при ш > и о уравнение (2.1.1) 2 пш-1 -периодическое решение ии, для которого справедливо равенство:
Jim |К - «°||Cfi(R) = °.