Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа

• Автор: Глушкова, Дарья Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 51 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче об определении коэффициента поглощения
Постановка задачи и основной результат
Дифференциальные свойства решения прямой задачи
Устойчивость по данным задачи и а, Ь, с-метод
Доказательство теоремы 1.1
Глава 2. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения
Постановка задачи и основной результат
Доказательство теоремы 2.1
Доказательство теоремы 2.2
Глава 3. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла
Постановка задачи и основной результат
Дифференциальные свойства прямой задачи
Доказательство теоремы 3.1
Энергетические оценки для функций Я и Е
Список литературы

Введение
Цель работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов устойчивости решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в постановках с минимальной по размерности информацией о решении прямой задачи.
Актуальность темы. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как: сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т. д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.
Обратные задачи, связанные с уравнениями гиперболического типа, изучались многими авторами, в частности Ю. Е. Аниконовым [1], [24], [25], М. И. Белишевым [2], [3] А. С. Благовещенским [4], А. Л. Бухгеймом [6], С. И. Кабанихиным [11], М. В. Клибановым [7], М. М. Лаврентьевым [12], [13], В. Г. Романовым [18].
Доказательство теорем единственности и устойчивости в задаче восстановления коэффициента внутри некоторой ограниченной области О даже для оператора

Ьч=дР~А~ д^ в трехмерном пространстве, вызывает определенные трудности. Первая теорема единственности была получена Ю. М. Березанским [5] в сильно переопределенной постановке. В дальнейшем обратные задачи для оператора Ьч были постоянным объектом исследований. В ряде случаев предполагалось, что точечные источники возмущений, расположенные вне £>, пробегают некоторое множество и коэффициент д(х) известен вне И [18], [20]. В других работах ([6], [7]) считались известными и отличными от нуля начальные данные для уравнения Ь^и — 0, носитель которых совпадает с замыканием В.
В. Г. Романовым в работе [17] был предложен новый метод получения теорем единственности и устойчивости решения обратной задачи для

оператора Lq при фиксированном точечном источнике. Этот метод использовал минимальную по размерности информацию о решении прямой задачи, то есть в качестве данных обратной задачи задаются функции, зависящие от такого же количества переменных, что и решение прямой задачи. В последствии данный метод был применен к другим многомерным задачам для гиперболических операторов В.Г Романовым, М. Yamamoto, Д. И. Глушковой.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе диссертации рассмотрена проблема нахождения коэффициента а = а(х) при первой производной по времени в задаче Коши для уравнения гиперболического типа:
ии - Ди + a(x)ut = S(x2,t), гф<0 = 0, (x,t) £ Ж3.
Предполагается, что носитель искомого коэффициента содержится вне источника, в полуплоскости М2 = {г£ Ж2|х2 > 0}, а сам коэффициент восстанавливается в некоторой ограниченной области D С Е+ с границей 8D класса С1.
В качестве дополнительной информации для нахождения коэффициента ст(х) задаются следы решения прямой задачи и(х, t) вместе с первыми производными на некоторой ограниченной цилиндрической поверхности в пространстве Ж3. В предположении малости коэффициента а получена оценка условной устойчивости по данным задачи. Для доказательства условной устойчивости использовалась модификация метода предложенного В. Г. Романовым для восстановления коэффициента перед младшим членом гиперболического уравнения [17], [27]. Результаты этой главы опубликованы в работе [9].
Во второй главе диссертации рассмотрена задача об определении двух коэффициентов <т(х), q(x) гиперболического уравнения:
«(!-Ди + сгщ + qu = 2 6{t) 5(х • i/), (ж, t) 6 R3,
с начальным условием гф<о = 0.
Коэффициент а(х) стоит перед первой производной по времени, а коэффициент q{x) перед младшим членом. Предполагается, что эти коэффициенты малы в некоторой норме и их носители содержатся внутри круга D := {х £ М2| х — х°| < г}. Источник, инициирующий колебания, имеет

Глава 3.
Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений
Максвелла
§ 3.1. Постановка задачи и основной результат
Пусть совокупность векторов Н и Е является решением задачи Коши для системы уравнений Максвелла с нулевыми начальными данными:
V х Я = е(Е1 + оЕ) + з, V х Е = -цЩ,
(Е,н)1<0 = о, (м)ек4. (3-1)
Здесь = ДфжхДД) - функция, характеризующая плотность
внешнего тока (источник плоских волн), 5 - дельта-функция Дирака.
Пусть б, ц - положительные постоянные. Предположим, что носитель функции а = а(х) содержится внутри шара В = В(х°,Я), где х°, Я -
фиксированы, который содержится в области {ж Е Ж3|жх > 0}.
Обозначим через с = 1/у/ёЦ - скорость распространения электромагнитных волн. Примем, что с = 1. Определим область
С? = {(жД) Е К4| х € В,х < Ь < Т + жЦ.
Здесь Т — некоторое положительное число. Боковую часть границы этой области обозначим через 5, нижнее и верхнее основания через £о и £т, соответственно, т. е.,
5 = {(ж, г) е М4| х Е дВ, х < £ < Т + жх},
£о = {(ж, г) £ Ж4| ж Е БД = ^1},
Хф = {(ж, £) € Ж4| ж е БД = Т + жх}, дВ = {ж е М3| х - ж°| = Я}.
Дополнительно введем в рассмотрение множество
Д = {(ж, Ь) Е М4| ж € дВ, —оо < £ < Т + жх}.
Пусть вектор (Н,Е) является решением задачи (3.1). Рассмотрим обратную задачу об определении коэффициента <т(ж) по заданной на 5' информации (функции Н и ее нормальной производной):