Асимптотическое решение дискретных сингулярно возмущенных задач оптимального управления

• Автор: Некрасова, Наталья Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Глава 1. Асимптотика решения дискретной нелинейной сингулярно возмущенной периодической задачи оптимального управления

§1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Вырожденная задача

§ 1.3. Формализм построения асимптотики

§ 1.4. Оценки приближенного решения

§ 1.5. Линейно-квадратичная задача

§1.6. Примеры

Глава 2. Асимптотика решения дискретной нелинейной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с другими краевыми условиями на переменные состояния

§2.1. Постановка задачи 5

§ 2.2. Вырожденная задача

§ 2.3. Формализм построения асимптотики

§ 2.4. Оценки приближенного решения
§2.5. Пример
Глава 3. Асимптотика решения дискретной задачи оптимального
управления для одного класса слабоуправляемых систем §3.1. Постановка задачи
§ 3.2. Формализм построения асимптотики
§3.3. Оценки приближенного решения
§3.4. Пример
ЛИТЕРАТУРА

За последние тридцать лет усилился интерес к сингулярно возмущенным задачам оптимального управления (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O’Malley R.E., Sannuti Jr., P. [29], Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. [5], Naidu D.S. [33], Дмитриев М.Г., Курина Г.А. [8] и библиографический указатель [14], составленный Куриной Г.А., Долгополовой Е.Ю.). Указанные обзоры содержат ссылки на работы, в которых методы сингулярных возмущений использовались для решения практических задач. Сингулярные возмущения связаны как с постановкой задач (малые постоянные времени, моменты инерции, массы, большие коэффициенты усиления и т.п.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.). Из условий оптимальности управления для сингулярно возмущенных задач появляются "жесткие" краевые задачи, численное решение которых вызывает серьезные трудности (большое время счета, неизбежное накопление вычислительных ошибок и др.). В связи с этим возрастает роль асимптотических методов, так как их использование часто позволяет значительно упростить исходную математическую модель, например, пренебречь нелинейностями, произвести декомпозицию исходной задачи на задачи меньшей размерности.
Большинство работ по этой тематике посвящено изучению непрерывных систем, в то время как многие задачи экономики, экологии, социологии, биологии описываются дискретными моделями. Так, например, в монографии Gajic Z., Lim М. [28] исследованы сингулярно возмущенные дискретные модели самолетов F-8 из [27] и F-15 из [27], [36]. В [28] также представлен метод исследования дискретной сингулярно возмущенной задачи, возникающей при моделировании паровой турбины из [31]. Кроме того, дискретные задачи возникают при численной реализации непрерывных задач оптимального управления. Один из возможных способов перехода от
дифференциальных уравнений к разностным уравнениям представлен в справочнике по теории автоматического управления под редакцией Красовского A.A. [22]. Общая теория дискретных задач оптимального управления изложена, например, в монографиях Пропоя А.И. [20] и Болтянского В.Г. [3]. С начала 1980-х годов объектом интенсивного изучения становятся дискретные сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Различным классам таких задач посвящены монографии Naidu
D.S. [32], Naidu D.S. и Rao A.K. [34], Gajic Z. и Lim M. [28]. Одной из особенностей дискретных задач оптимального управления является их большая размерность, поэтому использование асимптотических методов для их исследования особенно актуально.
В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, асимптотический анализ решений задач оптимального управления производится на основе асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. Чаще всего при этом используется метод пограничных функций Васильевой-Вишика-Люстерника (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O’Malley R.E. Jr., Sannuti P. [29], Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. [5], Saksena V.R., O’Reilly J., Kokotovic P.V. [35], Курина Г. A. [9], Naidu D.S. [33], Дмитриев M. Г., Курина Г. A. [8]). Широкое распространение получил также способ разделения движений при помощи метода интегральных многообразий (см., например, работу Соболева В.А. [21]).
В отличие от использования асимптотики решения краевой задачи, вытекающей из условий оптимальности управления для исходной задачи, второй путь построения асимптотики решения задач с малым параметром, в литературе часто называемый прямой схемой, заключается в непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения и определении серии задач для нахождения коэффициентов асимптотики. При таком подходе учитывается

Таблица 1.2 Значения переменной у
к Уо(к) Ш У (к)
0 0.015921 0.046162 0.044140
1 0.055709 0.075273 0.076029
2 0.051171 0.040945 0.0437850
3 -0.000004 -0.030703 -0.028380
4 -0.051158 -0.074354 -0.074425
5 -0.055713 -0.054127 -0.055116
6 -0.015909 -0.003176 -0.005994
7 0.015921 0.046162 0.044140
Таблица 1.3 Значения переменной г
к г0(к) 2}(к) г (к)
0 0.063649 0.040568 0.047844
1 0.007947 -0.069578 -0.061176
2 -0.115957 -0.185670 -0.178184
3 -0.153517 -0.141941 -0.141916
4 -0.051147 0.033108 0.024906
5 0.097760 0.174050 0.165667
6 0.151228 0.149428 0.142788
7 0.063649 0.040568 0.047844
Для наглядного сравнения точного решения с нулевым и первым приближением на рисунках 1.1-1.3 представлены соответствующие графики для управления, переменной у и переменной г.