Управляемость и оптимальное управление для инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах

• Автор: Сачков, Юрий Леонидович

Оглавление
1 Введение
1.1 Обзор результатов по управляемости и оптимальному управлению
на группах Ли и однородных пространствах
1.2 Краткое содержание диссертации
2 Управляемость инвариантных систем
2.1 Инвариантные системы на группах Ли
2.1.1 Общие свойства правоинвариантных систем
2.1.2 Системы на однородных пространствах
2.1.3 Насыщение Ли
2.1.4 Условия управляемости для специальных классов систем
и групп Ли
2.2 Гиперповерхностные системы
2.2.1 Определения и формулировка критерия управляемости
2.2.2 Предварительные леммы
2.2.3 Доказательство критерия управляемости
2.2.4 Необходимые условия управляемости для односвязных групп Ли
2.3 Вполне разрешимые группы Ли
2.3.1 Определения и формулировка критерия управляемости
2.3.2 Подалгебры коразмерности один
2.3.3 Фактор-системы
2.4 Разрешимые группы Ли и их обобщения
2.4.1 Обозначения и определения
2.4.2 Необходимые условия управляемости

ОГЛАВЛЕНИЕ
2.4.3 Достаточные условия управляемости
2.5 Метабелевы группы Ли
2.5.1 Условия управляемости на метабелевых группах Ли
2.5.2 Полупрямые произведения
2.5.3 Аффинные системы
2.5.4 Группа движений плоскости
2.6 Классификация управляемых систем на разрешимых группах Ли малой
размерности
2.6.1 Одномерная алгебра Ли
2.6.2 Двумерные алгебры Ли
2.6.3 Трехмерные алгебры Ли
2.6.4 Четырехмерные алгебры Ли
2.6.5 Пятимерные алгебры Ли
2.6.6 Шестимерные алгебры Ли
2.6.7 Разрешимые алгебры Ли малой размерности
2.6.8 Управляемость отрезков
2.6.9 Приложение: вспомогательные предложения
Управляемость билинейных систем в ортантах
3.1 Введение
3.2 Инвариантные ортанты билинейных систем
3.2.1 Знакосимметрические матрицы и их графы
3.2.2 Инвариантные ортанты линейного поля
3.2.3 Инвариантные ортанты билинейных систем
3.3 Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте
3.3.1 Предварительные леммы
3.3.2 Условия управляемости
3.4 Управляемость билинейных систем малой коразмерности
в положительном ортанте
3.4.1 Условия перемены знака
ОГЛАВЛЕНИЕ

3.4.2 Системы коразмерности один
3.4.3 Управляемость по направлениям
3.4.4 Системы коразмерности два
3.4.5 Системы произвольной коразмерности
4 Симметрии систем на группах Ли
4.1 Плоские субримановы структуры
4.2 Симметрии субримановых структур
4.3 Случай Гейзенберга
4.3.1 Плоское распределение и плоская субриманова структура
4.3.2 Симметрии распределения
4.3.3 Симметрии субримановой структуры
4.4 Случай Энгеля
4.4.1 Алгебра Энгеля и группа Энгеля
4.4.2 Плоское распределение и плоская субриманова структура
4.4.3 Модель в К4
4.5 Случай Картаиа
4.5.1 Алгебра Ли и группа Ли
4.5.2 Плоское распределение и субриманова структура
4.5.3 Модель в Ж5
4.6 Общая картина
5 Инвариантные задачи оптимального управления на группах Ли
5.1 Задача Эйлера об эластиках
5.1.1 История задачи Эйлера
5.1.2 Постановка задачи
5.1.3 Множество достижимости
5.1.4 Существование и регулярность оптимальных решений
5.1.5 Экстремали
5.1.6 Эллиптические координаты
5.1.7 Интегрирование нормальной гамильтоновой системы
5.1.8 Дискретные симметрии в задаче Эйлера
30 ГЛАВА 2. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ
2.2.3 Доказательство критерия управляемости
Теперь докажем теорему 2.12 с помощью результатов предыдущего пункта.
Доказательство. Ранговое условие необходимо для управляемости, поэтому, в силу леммы 2.5, условие А £ Ь0 необходимо в обоих пунктах (1) и (2).
Случай (1). Пусть С?о
Необходимость условия (7/Со = 51. Замкнутая подгруппа Со имеет коразмерность один в С, поэтому ёш1(3/(7о = 1. Следовательно, имеем С/Со = К или С/Со = 5'1. Если С/Со = К, то из леммы 2.2 вытекает, что проекция 7Г : в —> К есть монотонная функция вдоль любой траектории системы Г. Это противоречит управляемости системы Г, поэтому б/Со = 51.
Достаточность. Пусть А $ Ь0 и С/Со = Д1.
По лемме 2.5, система Г имеет полный ранг. В силу леммы 2.4, множество достижимости А плотно в С. Но тогда из леммы 2.6 следует, что Г управляема.
Случай (2). Пусть До Ф Со-
Достаточность. Обозначим Со через Н. Легко видеть, что Н — абстрактная подгруппа в И. Но Н замкнута в С, поэтому она является подгруппой Ли в С. Более того, Со связна, поэтому Н также связна. Обозначим алгебру Ли группы Н через Ь(Н). Имеем Со С Я С С, поэтому Ь0 С Ь(Н) С Ь. Но Ьо имеет коразмерность один в Ь, поэтому либо Ь(Н) = Ьо, либо Ь(Н) = Ь. Если Ь{Н) — Ьо, то Н = Со, что противоречит незамкнутости подгруппы Со- Поэтому Ь(Н) = Ь, и Н есть связная подгруппа Ли группы И с алгеброй Ли Ь. Следовательно, Н = С, т.е. С0 = И. Но А I) Со, поэтому А = И. Ранговое условие выполнено (см. лемму 2.5), и из леммы 2.6 следует управляемость системы Г. □
2.2.4 Необходимые условия управляемости для одно связных групп Ли
Воспользуемся теоремой 2.12 для вывода необходимых условий управляемости аффинных инвариантных систем на односвязных группах Ли.