Оценки пространственных производных решений квазилинейных параболических уравнений с малой вязкостью

• Автор: Бирюк, Андрей Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Б.м.
• Количество страниц: 91 с.

Estimates for Spatial Derivatives of Solutions for Quasilinear Parabolic Equations with Small Viscosity

Andrei Biryuk

Submitted for the Degree of Doctor of Philosophy at Heriot-Watt University on Completion of Research in the Department of Mathematics September 2
Оглавление

Декларация Ш

Благодарности IV

1 Скалярный закон сохранения

1.1 Введение

1.2 Общие свойства слабых решений

1.3 Понятие энтропии

1.4 Явное решение
1.5 Безвязкий предел
2 Одномерное уравнение Бюргерса
2.1 Введение
2.2 Оценки сверху
2.3 Оценки снизу
2.4 Поведение коэффициентов Фурье
3 Многомерный случай
3.1 Введение
3.2 Оценки сверху
3.3 Оценки снизу
3.3.1 Условие вырожденности
3.3.2 Основная идея
3.3.3 Технические детали
3.4 Коэффициенты Фурье
3.5 Оценки снизу для пространственных производных решений системы Навье - Стокса
4 О нелинейном уравнении Шрёдингера
4.1 Введение
4.2 Оценки снизу I
4.3 Оценки снизу II
4.4 Оценки сверху

Приложение А. Некоторые технические неравенства
А.1 Две оценки для точных констант в интерполяционном неравенстве
А.2 Интерполяционное неравенство для комплекснозначных функций
Литература

/ Фп(и)ір^сІх + ІКС ■фх<іхсІІ+
$п{и)(^ + ифхх)(1х(И .
Пусть теперь функции Ф„(-) аппроксимируют функцию | • — а в равномерной метрике (т.е. по С'°-норме), причём
<1Фп(и) (I Г 1 при и> а,
■ и- а — '
du du' ' -1 при и < а
в Li(w_,w+), где = minuo, «+ = maxw0. Переходя к пределу, получаем неравенство (1.5.7). □
Заметим, что из принципа максимума для функций uv и условия (1.5.4) следует, что семейство функций
{u"(£, •)}i/e(0,l)iie[0,7l (*)
равномерно ограничено и имеет равномерно ограниченную вариацию. Поэтому из всякого бесконечного подмножества этих функций по второй теореме Хелли (см. [15]) можно выбрать сходящуюся в каждой точке S последовательность. По теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла она будет сходится в Li(S). Это означает, что семейство (*) предкомпактно в Li (S'). В силу этого и условия (1.5.5) по теореме Арцела - Асколи семейство функций {u"(f, т)}„е(о,1) предкомпактно по норме пространства (7([0, Т]; Li(S)). Отсюда заключаем, что найдутся элемент v € С([0,Т];LAS)) и последовательность Uk » 0 такие,
4 /г—юо
ЧТО UVk —> V bC([0,T};Li(S)).
Заметим, что из этой сходимости и принципа максимума для uVk следует, что при каждом t € [0,Т] выполнено
ix_ < ess inf v(t. •) ^ ess sup v(t, •) < u+ ,
так как иначе величина |uVk(t, •) — v(t, -)Ll не стремится к нулю. Для следующего предельного перехода воспользуемся неравенствами:
||u(t,x) — а| - |v(t,x) - а|| < |u(t,x) - v(t,x)
Р(и(Ь,х),а) - П(г>(£,ж),а)| ^ тах |/'(-)||и(г, ж) - «(£, ж)| при п.в. (£,х).

(Первое неравенство — это просто неравенство треугольника, а для доказательства второго нужно рассмотреть два случая: а) о находится между и и и, б) и и V лежат по одну сторону от а. При каждом £ второе неравенство справедливо при почти всех х.)