Необходимые и достаточные условия существования разрывных решений задач вариационного исчисления

• Автор: Семенов, Алексей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 115 с.

ГЛАВА
§1 Основные определения и понятия
§2 Вариационный функционал
§3 Теория обобщенных кривых в приложении к разрывным
задачам вариационного исчисления
ГЛАВА
§1 Теорема существования обобщенного решения положительно определенной сопряженной параметрической вариационной задачи §2 Леммы
§3 Теорема существования решения класса НП положительно определенной вариационной задачи §4 Положительно определенная вариационная задача при дополнительном условии на функцию и>
ГЛАВА3
§ 1 Необходимые условия экстремума в классе обобщенных кривых § 2 Необходимые условия экстремума в разрывных вариационных задачах со старшими производными
ГЛАВА
§1 Пространственная вариационная задача с предельным показателем
порядка роста интегранта
§2 Теорема об отсутствии абсолютно непрерывного решения для одного
класса вариационных задач с предельньм показателем порядка роста
§3 Вспомогательные леммы и теоремы
§4 Доказательство теоремы о существовании гладкого решения вариационной
задачи с предельным показателем порядка роста
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

На Парижской конференции 1900 года Д.Гильберт сформулировал для регулярной вариационной задачи1*
J (z(x, У)) ■* JJF(x, y,z,p, q)dxdy — min, г|аа - /, а
где F - аналитическая функция, две проблемы: девятнадцатую и двадцатую. В 20-й проблеме спрашивалось: «допускает ли решение каждая регулярная вариационная задача, если только на данные граничные условия наложены определенные допущения, - и если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование». В тоже время в 19-ой проблеме ставился вопрос «являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими» независимо от свойств гладкости или аналитичности граничных условий. Главные направления их исследования были определены в трудах С.Н.Бернштейна [4-6] и А.Лебега [142].
Первым результатом, относящимся к 19-ой проблеме Гильберта, было исследование С.Н.Бернштейна, в котором было установлено, что трижды непрерывно дифференцируемое решение г регулярной аналитической задачи аналитично. Для решения 20-ой проблемы им был развит метод продолжения решения дифференциального уравнения по параметру.
Работы Лебега, Гильберта [138], Куранта [133] послужили началом развития так называемых прямых методов вариационного исчисления. Согласно идеи Гильберта, задача отыскания аналитических решений для аналитических задач разбивается на две: установление существования обобщенного решения и последующее изучение его дифференциальных свойств. Исследование вопроса разрешимости вариационных задач прямыми методами в свою очередь также распадается на две: 1) установление компактности множества допустимых функций и 2) доказательство полунепрерывности снизу вариационного функционала. Данный метод получил глубокое развитие в трудах Л.Тонелли [160, 161], Н.Н.Боголюбова [8,9], Е.Макшейна [145, 147-149], А.Г.Сигалова [109-111], В.И.Плотникова [93-95], О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [50,51] и др.
1) Вариационная задача называется регулярной,, если, подьинтеграпьное выражение /г удовлетворяет условию строгой выпуклости относительно (р, <}). Оно может быть записано в виде
Е(х, у,2,р,д,р,д)‘ £(дг,у. 2, р. д)-Е(х,у,2,р^)-(р-р)Рр(х,у,;,р,ц)-(д-гі)Рч (х, у,р, с/ )>0, (д. Изучение аналогичных вопросов, касающихся пространственных вариационных задач минимизации функционала
среди вектор-функций У(х) = 0/](х), ... , ур{х)) осуществлялось путем расширения класса допустимых функций: перехода от рассмотрения непрерывно дифференцируемых до абсолютно непрерывных. В работах Л.Тонелли, М.Нагумо [156], М.Граве [135], Е.Макшейна было установлено, что квазирегулярная задача на определение минимума функционала (0.1) разрешима в классе абсолютно непрерывных функций, если порядок роста а больше 1 и существуют постоянные т > 0, к > 0 такие, что
где г/Ч|И) _ положительная монотонно возрастающая непрерывная функция, стреВ то же время, для предельного показателя порядка роста а = 1 существуют примеры (Е.Макшейн, С.Н.Бернштейн, Д.Лауден [140], Р.Курант) положительно
виде однозначно определенной функции Г= Г(х) не существует, и для того, чтобы вариационная задача имела смысл, необходимо расширить понятие решения, взяв в качестве допустимых кривых такие, которые имеют дуги, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Ох.
множестве абсолютно непрерывных кривых С: у(х), х£[0,1], удовлетворяющих условиям на концы у(0) = 0, у(1) = 1. Зафиксируем произвольную кривую С из указанного класса, и пусть х = х(.у), у = у(х), х (х) > 0 , 0 £ 5 £ Ь, где х - длина дуги кривой, - ее параметрическое представление. Тогда

(0.1)

Р(х,У,У') ь т
или если
Д(*,У,ПН|УМГ||)-£
мящаяся к + оо при ||К'|| —» со
определенных11 квазирегулярных задач, для которых решение задачи (0.1) (р= 1) в
Пример 0.1. Рассмотрим задачу на отыскание

1) Т > 0 всюду из области задания

непрерывны'1 и имеют непрерывные частные производные 1-го порядка по переменным а„ в окрестности значений Г, гк (к = 0,1 и), а = ...= а; = О, соответствующих дуге £*: г( = 2* ((), г ЕЕ [?0, П] . По лемме 3.1 для каждой точки
( 2=А\,1 XЛ), 1 ^ р0, ОПолагая
г=Е'(1,10, 2(0 + атнмх = АЫ), ге [(„ г,], И1 < *„ (3.30)
получаем «-параметрическое семейство функций, удовлетворяющих на [Г„, О уравнениям (3.14).
Так как
А (‘X) = 2* (О + Пы 0о), (3-31)

7 А(‘о>Л) =Т1кт((о) (к=0,1,—,п;т= 1 «). (3.32)
дап, I А
Из первого и последнего уравнений (3.29) следует, что д
А М). =%„(/).
^ат 1 Л
Так как
| *1 (О А) =Т/пт(?)-
да„
А-,, (М) = (2, (0 + а„ Ппг* (ОХ 2о (О + ^^ош (ОХ
- *1-1, (О Л) - (/)(Г0 (0 + а, (/)) + Щт (0(*„ (0 + «, /?„, (0) •
да„

Следовательно, из (3.26) и свойств гладкости решения (3.30) имеем
-—А-г, (*>А) |, = ппт (ОАш (0 + (0*„ (0=(О,
а учитывая (3.32), получаем
!) Суммирование по т идет от 1 до я.