Исследование слабого решения смешанных задач для квазилинейных уравнений

• Автор: Бегматов, Абиркул
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 148 c. : ил

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ

РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

§ I. Интегральные неравенства и непрерывность

. оператора суперпозиции

§ 2. Сведение решения задачи (0.1)—(0.3) к решению счетной системы нелинейных.интегральных уравнений
§ 3. Существование и единственность решения счетной системы нелинейных.интегральных . уравнений

Глава II. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ

СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ОТ ДАННЫХ И НЕКО

ТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ

§ I. Зависимость.решения смешанной задачи от

данных
§ 2. Теоремы о единственности решения
§ 3. Некоторые вопросы.приближенного решения
задачи (0.1)-(03)
ЛИТЕРАТУРА

Основным вопросом диссертационной работы является исследование смешанных задач для квазилинейных уравнений, у которых внешняя сила возбуждения зависит от искомой функции и её производных, причем имеет неинтегрируемую особенность в начале временной координаты, в силу чего решение теряет свойства единственности и корректности в смысле А.Н.Тихонова. Следовательно задача становится некорректной.
Распространение различных волн: упругих, звуковых, электромагнитных, а также колебательные явления при больших амплитудах описываются нелинейными гиперболическими уравнениями,
В релятивистской квантовой механике рассматривается смешанная задача для уравнения
и.и® ди*1и.ги. + {и.*),
в теории плазмы встречаются смешанные задачи для уравнения типа ^33"}
и и* а1 и ж и+4(а , и *).
Исследования некорректных смешанных задач представляют значительный интерес как в теоретическом, так и в прикладном аспектах, когда нелинейные возмущения относительно времени имеют неинтегрируемую особенность, например, как в уравнении Дарбу: "Ц.^—ДидЧ!'-^ , вырождающемся при , если
записать его в виде ‘Ь ДЦ.) — •
Следовательно актуальность темы .диссертации безусловна.
Как известно, в последнее время, под руководством

академиков А.Н.Тихонова [42] , И.И .Лаврентьева [27] , члена-корреспондента АН СССР В.К.Иванова [18] интенсивно развивается теория некорректных задач. Возникает необходимость, пользуясь идеями методов некорректных задач, развивать существующие метода исследовании смешанных задач, рассмотреть более общие .дифференциальные уравнения, охватывающие многие классические случаи.
Созданы различные метода для решения линейных и нелинейных смешанных задач. С помощью рядов Фурье построены и обоснованы различного вида решения смешанных.аадач для линейного.гиперболического уравнения в работах С.Л.Соболева [40] , 0.А.Ладыженской ^28] , В.А.Ильина [19] , З.И.Халилова [43] и др.
Исследованиями смешанных задач для квазилинейных уравнений занимались Л.Лихтенштейн [31] , М.Кржижанский [26] , И.Шаудер^2б] , Л.Лионе [.29,30} , А.В.Биладзе [д] , А.И.Гусейнов [ц,12,13] , Г.И.Чандаров [.46,47} , К.И.Худавердиев [12] ,
В данной работе нелинейным методом Фурье с сочетанием методов исследования некорректных задач теории дифференциальных
линейного возмущения на вопросы существования решения, скорости сходимости итерационных процессов, непрерывной зависимости от данных, единственности и приближенного нахождения слабого решения следующей некорректной смешанной задачи.
К.К.Гасанов [п] , А.Д.Искандеров [.21} , С.Я.Якубов [48] и другие.
уравнений изучается влияние порядка особенности при неНайти функцию ил1,Х), удовлетворяющую уравнению
в области

где.
1^сЬ=9Л1]Ко№5^, ргЦ |'3Л(^,Х,0,0,0'|с1хс^.

Доказательство. Пусть последовательность приближений определена формулой
_ . _ *Г_А гч ГХ-1/-ч . N“1. - . .
(1.3.6)
а>^(^,хЯак',10^, (}ха )1Гивдч°^ .$1и. л„сх-^еха^ ,имлПусть 0~° (А.) — О , тогда из равенства (1.3.6) получим
[•Ьг^г
Л) о
г, 1,1 <1
При К“1 , учитывая условие б), имеем:
I' а1 ^ ^,,, ч ^ + рг
-,1,1
ИО-Ч^И1.» к,1 ~51 1?Х.зс-0,0,0)с)хс1Ьр,
ВГ Дь и?
В’7 Л-О гДД

Для любого имеет место

1,1,1
справедливость которого устанавливается методом полной матема-