Качественные свойства решений уравнения Ходжкина-Хаксли на геометрическом графе

• Автор: Грищенко, Алексей Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 92 с.

1 Уравнение Ходжкина-Хаксли на геометрическом графе.
Основные понятия и определения
1.1 Понятие геометрического графа
1.2 Пространства функций на геометрическом графе
1.3 Основной объект исследования
1.4 Линеаризация модели (1.3.1)-(1.3.4)
2 Исследование линеаризованного уравнения Ходжкина-Хаксли
на геометрическом графе
2.1 Линейное уравнение, учитывающее постсинаптическую проводимость
2.2 Об асимптотике функции Грина вспомогательной краевой
задачи
2.3 О представлении функции Грина
2.4 Вспомогательные задачи и их решение в образах преобразования Лапласа
2.5 Согласование решений вспомогательных задач и их поведение в точках согласования

2.6 Обоснование метода Фурье для параболического уравнения на геометрическом графе с кусочно-постоянными коэффициентами
2.7 Задача с радиально зависящими коэффициентами на графе-звезде
3 Уравнение Ходжкина-Хаксли на геометрическом графе. Качественные свойства решений
3.1 Вспомогательные определения и теоремы
3.2 О решениях типа простой волны для уравнения Ходжкина-Хаксли на вещественной оси
3.3 Примеры геометрических графов, на которых уравнения Ходжкина-Хаксли имеют решение типа простой волны
3.4 Стационарные решения уравнения ХоджкинаХаксли с краевыми условиями типа Неймана
Литература

Настоящая работа посвящена исследованию системы уравнений ХоджкинаХаксли на геометрическом графе:
д2У _ дУ дх2 дї
+дМатгП{У-Уиа)+9КпУ-Ук)+ЫУ-Уь) (х Є Л(Г), і > 0) (0.0.1) Эи
= ап(У) - (ап(У) + рп(У))п, (х є В(Г), і > 0) (0.0.2)

= ат(У) - (ат{У) + (%п(У))т, (а; Є Д(Г), і > 0) (0.0.3)
^ = ан(У) - ЫУ) + 0к(У))Ь, (х Є Д(Г), і > 0) (0.0.4)
Здесь Г - геометрический граф, представляющий собой связное объединение отрезков, Д(Г) - множество его ребер. V,п,ти1г- искомые функции, зависящие от х Є Г и от £ > 0 и предполагаемые непрерывными по х (на Г) при каждом фиксированном £. Функции ап, (Зп, ат, (Зт, скд, /5/, -заданы (их вид мы опишем позднее). Относительно V мы предполагаем также выполненным условие:
£ Уь+{х, 0 = 0 (х Є ЛТ), і > 0), (0.0.5)
где Лу) - множество всех внутренних вершин Г, В{х) - множество всех допустимых в точке х Є У(Г) единичных векторов, а У^{х, і) - правосторонняя производная функции У(-,Ь) в точке х по вектору /г.
Система уравнений (0.0.1)-(0.0.4), рассматриваемая на К (т.е. при Г = К и ^(Г) = 0) известна как модель Ходжкина-Хаксли - одна из наиболее адекватно описывающих распространение электрического потенциала в нейроне (см. [73]).
Теорема 2.5.1 Пустъ gi(x,£,-,•) = С 1(Gi(x,£] •)), i = 1,2,3. Тогда решение задачи (2.1.1)-(2.1.4) представимо в виде
u(x,t) = <
(h{t)) 1{е bJgi(x,{;t)
+{h(t)Ci(t)) * g±(x,at)), zeTi J g2{x,^t)(p(^)d^ + Ci{t) *g2(x,a-,t), xeT2
R( r2)
f g3{x,bt)y{№ + C2{t)*g3{x,(3]t), жеГ3 Л(Гз)
где Ci(t), i = 1,2 определяются решением уравнения (2.5.28).
2.6 Обоснование метода Фурье для параболического уравнения на геометрическом графе с кусочнопостоянными коэффициентами
В настоящем параграфе приводится обоснование метода Фурье для начальнокраевой задачи:
(Lu(•, t))(x) = ut(x, t) (2.6.29)
и(х, 0) = <р(х) (2.6.30)
«V = 0, (2.6.31)

{р{х)у'{х))' - q{x)y(x), х € R{Г)
(Ly)[x) :=
Y р{х + 0 • h)y'(x), х Е J(T)
heD(x)
и q(x) > 0.
Метод разделения переменных, в применении к задаче (2.6.29)-(2.6,31),