Исследование разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных вырождающихся на решении параболических уравнений в нецилиндрических областях

• Автор: Истомина, Наталия Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 96 с.

Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОКРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОМПАКТНОСТИ

§ 1. Обозначения и предварительные результаты

§ 2. Постановка задачи и формулировка результата

§ 3. Построение и оценка приближенного решения

§4. Оценка производной по времени

§ 5. Об одном результате о компактности

§ 6. Предельный переход в интегральном тождестве

§ 7. Доказательство единственности обобщенного решения и второй

теоремы существования и единственности

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОКРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ МОНОТОННОСТИ

§1. Описание области и предположения

§2. Описание пространств, постановка задачи и формулировка
результата
§3. Предварительные результаты
§ 4. Построение базисов и полных систем функций
§ 5. Построение и оценка приближенного решения
§6. Свойства нелинейного оператора А(£)
§ 7. Предельный переход в интегральном тождестве и выполнение
начального условия
§8. Ограниченность производной по £. Обоснование равенства
Х = А(Ь)и
§9. Единственность обобщенного решения
Литература
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению разрешимости начально-краевых задач для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, а также разработке общих основ исследования существенно нелинейных уравнений в таких областях.
Первые результаты по линейным уравнениям теплопроводности в области с нецилиндрической границей получены в работах М. Жевре [70] и И.Г. Петровского [80]. В них рассматривалась смешанная задача для одномерного уравнения теплопроводности. В дальнейшем линейные задачи для уравнении параболического типа в нецилиндрических областях изучались В.Ш Михайловым [45; 46], С.Г. Крейном и Г.И. Лаптевым [32], В.И. Ушаковым [55], Р.'Д. Алиевым [2; 3; 4],. А.Е. Шишковым [56], В.В. Куртом [33], В.В. Куртом и А.Е. Шишковым [35], М.О. Орынбасаровым [47], Ю.А. Алхутовым [5], Э.М: Карташовым [21; 22], Р. Cannarsa, G. Da Prato, J.-P. Zolezio [62] и другими математиками.
Краевые задачи для различных классов нелинейных нестационарных уравнений в нецилиндрических областях исследовались с точки зрения доказательств теорем существования, единственности'в работах Ж.-Л. Лио-нса [75; 76], H. Fùjita, N. Sauer [69], M.L. Nakao, T. Narazaki [77], M.M. Лаврентьева - мл. [74], М. Idrissi [72], R. Dal Passo, М. Ughi [64], H. Okochi [78];
В.В. Курта [34], А.Ф. Тедеева [54], М. Bertsch, R. Dal Passo, В. Franchi [60], J. Ferreira [66], J. Ferreira, N.A. Lar’kin [67], D. Bainov, E. Minchev [58],
А.И. Кожанова [73], А.И. Кожанова, H.A. Ларькина [27; 28], J. Ferreira, М.A. Rojas-Medar [68], R. Benabidallah, J. Ferreira [59], M.M; Bokalo,
V.M. Dmytriv [61], C.H. Глазатова [13], ILB. Виноградовой [10], П.В. Виноградовой, А.Г. Зарубина [11] и других авторов.
Спектр применения краевых задач для уравнений параболического типа в области с границей, движущейся во времени (нецилиндрические области), достаточно широк. Подобного рода задачи возникают: при изучении процессов горения в ракетных двигателях на твердом топливе [17], замораживания грунта [8], твердения бетона [50], промерзания раствора [18]; при исследовании ряда проблем атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [49; 79; 81], экологии и медицины [6; 44]; при решении некоторых задач гидромеханики [9; 16; 53], термомеханики (при тепловом ударе [23 - 25], термическом разложении [43; 57], тепловой защите космических аппаратов [48]) и так далее.
Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что: практически изучены лишь законы движения границы преимущественно для одномерных- линейных задач теплопроводности. Что касается более сложных вопросов теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, то они мало изучены, нет общих методов доказательства существования и единственности решений. Следует отметить некоторые трудности, возникающие при решении краевых задач для такого рода уравнений, а именно: сильную нелинейность дифференциального уравнения с частными производными, характер вырождения самого уравнения и, наконец, нецилиндричность области, в которой решается краевая задача, при отсутствии стандартных вспомогательных утверждений, предназначенных для ее решения. Поэтому развитие самих методов решения квазилинейных параболических уравнений с вырождениями на решескалярное произведение в Т2(Л*) согласовано с двойственностью между

пространствами (£>*) и И^1(Л<), так что если /1 е ИП Т2(А) и
q ёЖр(Д), то (Л,д)< = / к{х,£) д(х) дх.

В дальнейшем параметр 4 в угловых скобках, указывающий на зависимость области определения функционала к Е от параметра 4,
будем опускать.
В области ($т рассматривается уравнение
щ(х,Ь) - £ -^-а(их.(ж,4)) = /(ж, 4). (2.2.1)
1=1 с'®«
Требуется найти решение ы = и(ж, 4) данного уравнения, удовлетворяющее однородным граничным условиям на ’’боковой” поверхности
5 = и {9Д X 4} и начальному условию при 4 = 0.
(€[0,71
Пусть щ £ Ь2(Во) - заданная (начальная) функция.

Определение 1. Функция и Е Тр(4; Жр(А)), такая, что
кшгтах ||и|[£2(о() < оо, называется обобщенным решением задачи, если для
любой функции Е Со°(0,Т) и любой функции Р Е С1(фт), обращающейся
в нуль на «?, выполнено интегральное тождество
т т т „ т
—/(/ иРдх^р'<И — J J иРхудхдЬ + 1(к1'^а{иц)РХ{ дх^<р(И = 11 фР<рбхсИ, О А 0 А 0 А,=1 0 А
(2.2.2)
а для любых UJj(x,t), построенных ниже, выполнено условие
J u(x,t)uJj{x,t) дхJ щ(x)шj(x,0) бх при I—ь 0. (2.2.3)
Оь До
Требование выполнения начального условия в смысле (2.2.3) взято в связи с тем, что решение u(x,t) не имеет следов при 4 = const по Соболеву (нет суммируемости щ), а для абстрактных функций со значениями