Разностные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения параболического типа с вырождением

• Автор: Олисаев, Эльбрус Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 117 с.

Оглавление
Введение
» Глава 1. Краевая задача для вырождающегося уравнения
параболического типа с краевым условием третьего рода
1.1. Постановка задачи
1.2. Априорная оценка для решения дифференциальной задачи
1.3. Метод Ротэ
1.4. Построение разностной схемы, устойчивость и сходимость
1.5. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с сосредоточенной теплоемкостью
1.6. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с конвективным членом
Глава 2. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с нелокальным краевым условием
2.1. Постановка задачи
2.2. Априорная оценка для решения дифференциальной задачи
2.3. Сходимость итерационного процесса для нелокальной краевой задачи с вырождением
2.4. Метод Ротэ
2.5. Построение разностной схемы, устойчивость и сходимость 77 Глава 3. Нелокальная, нелинейная краевая задача для
параболического уравнения в двумерной области
3.1. Постановка задачи
3.2. Линеаризация нелинейной задачи
3.3. Априорная оценка для решения линейном задачи
3.4. Разностная схема
• Литература
- 3 -Введение
Вопросы, связанные с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме, с переносом влаги в почво-грунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения обшего количества тепла стержня, приводят к нелокальным задачам, для дифференциальных уравнений математической физики.
К первым работам с неклассическими граничными условиями для общих параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Камынина Л.И. [20] и Чудновского А.Ф. [46], [47]. После появления работы Бицадзе A.B. и Самарского A.A. [6], внимание математиков все чаще стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Ионкина Н.И. [15],[16], Самарского A.A. [35], Ионкина Н.И., Моисеева Е.И. [19], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [13]-[14], Шополова H.H. [48], Гордезиани Д.Г. [9]-[11], Нахушева А.М. [27]-[28], Шханукова М.Х. [49]-[50], Керефова A.A. [21], Митропольского Ю.А., Шханукова М.Х., Березовского A.A. [24], Муравей Л.А., Филиновского A.B. [26], Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д. [12], Солдатова А.П., Шханукова М.Х. [42] и др.
Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающих в различных областях знаний.
Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод (зона аэрации). В этой зоне влагоперенос, в случае движения влаги в вертикальном направлении под воздействием силы тяжести и капиллярного давления, описывается диффузионной моделью
dw _ д
dt Эх
+ f(x,w), 0 < х < I, 0 < t ^ Т, (0.1)
где w(x, t) - объемная влажность почвы; D(w) - коэффициент диффузивности;
K(w) - коэффициент влагопроводности.
Чудновский А.Ф. в работе [46] обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий и впервые, по крайней мере для уравнения влагопереноса, сформулировал задачу с нелокальным условием:

D^l=0=jwdx, (0.2)

£L-°- (аз)
w(x, 0) = <р(х), 0 ^ х ^ а. (0.4)
Нелокальное условие (0.2) означает, что поток влаги через поверхность х = 0 равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до ос.
Камынин Л.И. в работе [20] рассматривал для параболического уравнения второго порядка общего вида нелокальное условие вида

I g(x,t)u(x.t)dx = E(t). 0 ^ t ^ Т,
х, (О
где X, (i), i = 1,2; g(x,t), E(t) - известные функции.
В работе [36] Самарский A.A. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальным условием общего вида:
Г а, (t)u(0, t) + а2 (t)u(l, t) + a3(t)ux(0, t) + a4 (t)ux(l, t) - yy (t).
I /3,(t)u(0,f) + ß2{t)u{l,t) + ß3{t)uj0,t) + ß4(t)ux{l,t) = ip7{t).
При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий.
Пусть u(x.t) - плотность численности популяции возраста х в момент времени t. Тогда, как показано в работе [8], u(x,t) является решением нелокальной задачи
ut + иг — h{x,t), 0 < х < I, t > О, (0.5)

Проволя аналогичные выкладки, для третьего и четвертого слагаемых в (1.38) получаем

■т 1 ■
1 У тг, ^ т/г2-,
^ хт1г
/■" ( Ь2
1 Хтф(1х = -у (1 + (т 1}12х
*и, - -Ц- / -"(г.!) ,1.г =
х1г .) дt
xi-^.
дй / , . /г2 ди тН? д2й ,
= _(! + (т _ 1)щ) _____ + <,(* + т ).
Таким образом, из (1.38) и из вышеприведенных рассуждений следует, что погрешность аппроксимации имеет вид
ф = ф + ф* +ф**, где ф = 0 (д2+Г^) 5 ‘ф*=° (т~) > Ф** =0(И2 +Тт”), та= < ‘ ^2’
2. (7

Для погрешности аппроксимации краевого условия (1.35) имеем (см.[37])
«Л = -а.ий + /г*(П«.о + сгои1<Т) - ¥>о) =
= _а1иг,0 + /г* + ^оЙо - 9о) + 0(гп,<т) =
— ~КК “ + ^* (^(ОД) + ~ 9о) + 0(/*2 + т"г<т) =
= -*"*• - 2ДГП) + 5°й" - /") +
+ к* (0- /) + с/0г1о — + 0{1г + тт”) i= 0(/г2 + г'”-).