Распространение волн в трехмерном периодическом диэлектрическом волноводе

• Автор: Денисова, Ирина Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 133 с.

Оглавление
Введение

Глава 1 Точечный и непрерывный спектры волново^да

§ 1 Вывод интегральных уравнений

§2 Условия разрешимости интегрального уравнения (1.1.18)

Глава 2 Волноводный оператор для приведённого волнового уравнения

§1 Определение волноводного оператора

§2 Собственные функции непрерывного спектра и их асимптотические представления.. .36 §3 Индефинитное скалярное произведение собственных функций непрерывного спектра

Глава 3 Исследование непрерывного спектра приведённого волнового уравнения

§1 Ортогонализация собственных функций непрерывного спектра

§2 Проекторы на инвариантные подпространства оператора И, соответствующие конечным отрезкам непрерывного спектра
§3 Спектры оператора А на инвариантных подпространствах соответствующих конечным отрезкам непрерывного спектра (Формулировка теоремы)
§4 Изучение системы интегральных уравнений (3.3.2)
§5 Выбор решения системы (3.3.2)
§6 Зависимость функции г(£) от правой части уравнения (2.1.16)
§7 Доказательство принадлежности функции г(£) пространству £2(П)
Глава 4 Проекционные и разрешающие операторы для волновода с поглощением
§ 1 Преобразование оператора А 80 .
§2 Проекторы для случая невозмущённого волновода
§3 Аппроксимация операторов А и В более простыми
§4 Определение проекторов ^ и ^(г)
§5 Построение разрешающих операторов
Литература

Введение
Диэлектрические волноводы с периодической структурой находят широкое применение при модуляции, демодуляции и фильтрации световых сигналов в различных устройствах интегральной оптики, включая фильтрующие устройства и решёточные элементы связи [1.12]. Волноводы этого типа продольно неоднородны. Поэтому теория направляемых волн для них, строго говоря, неприменима. Однако, когда пространственный период достаточно мал, волновой процесс в хорошем приближении предстаёт как обычная направляемая волна, длина которой намного превосходит длину пространственного периода [1.18]. Таким образом, свободный волновой процесс в периодической системе можно рассматривать как наложение бесконечной совокупности плоских неоднородных волн с разными постоянными распространения, которые характеризуют среду распространения волны. Их совокупность образует спектр волновода.
Для некоторого класса задач этот спектр изучался в работах [2.1] — [2.9]. Данное исследование является их продолжением.
Диссертация посвящена изучению граничной задачи для приведённого волнового уравнения
div(oVu) + è« = 0 ' (1)
в трёхмерном пространстве с 2л - периодическими по переменной z коэффициентами, имеющими разрыв на некоторой 2л - периодической по переменной z и ограниченной по переменным х и у на поверхности Г. Вне области, ограниченной поверхностью Г, коэффициенты а и b предполагаются постоянными.
В качестве граничных условий для этого уравнения берутся условия
= 0, (2)
где [v] — скачок функции v на поверхности Г, производная функции и по внешней

нормали к поверхности Г.
Задачи такого типа имеют много физических применений. Ниже приведены некоторые из них.
Физическое применение полученных результатов
1. Область Р, ограничивающую поверхность Г, можно интерпретировать как волокно 2л- периодического диэлектрического волновода с параметрами, описываемыми 2л- периодическими по переменной z функциями.
Распространение волн в этом волноводе описывается системой уравнений Максвелла:
[и] = 0 и

где е и //— соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества волновода, со — частота распространяемой волны. Функции е и /и являются 2ж - периодическими по переменной z и равны постоянным е0 и //„ вне замыкания области Р. Векторные функции Е и Я— электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля.
Система (3) рассматривается в областях Р и К3 Р .
По аналогии со случаем однородной среды введём понятия векторного и скалярного потенциалов.
Векторная функция Я удовлетворяет уравнению
div(/rW) = 0,
вытекающему из первого уравнения системы (1). Следовательно, существует такая достаточно гладкая функция А, что Я = /Я1 rot А.
Подставляя это равенство в первое уравнение системы (3), получаем, что rot(£ + icoA) = 0. Следовательно, Е = -icoA - Vср, где ср— дифференцируемая скалярная функция.
Назовём А векторным потенциалом электромагнитного поля, а <р — скалярным потенциалом электромагнитного поля.
Подставим полученные выражения для Е и Я во второе уравнение системы (3).
Из этого уравнения и равенства div(f£) = 0 получим следующие уравнения для скалярного и векторного потенциалов А и ср:
div(£V^) + /&>div(£vi) = 0, (4)
rot (/z“‘ cot А) = со2eA-iooeVcp. (5)
Уравнения (4) и (5) содержат в себе обе неизвестные величины А к ср. Чтобы этого избежать наложим на скалярный и векторный потенциалы условие
di у{еА) = С<р, (6)
где С — некоторая функция, которая будет определена ниже. Такое условие не ограничивает общность решения системы уравнений Максвелла, так как векторный потенциал А определён с точностью до произвольного слагаемого вида V(i/, где у/— произвольная достаточно гладкая функция.
При выполнении условия (6) уравнения (4) и (5) приводятся к виду:
div(£ Vcp) + icaCcp = 0, (7)
rot (/Г1 rot А) = со2 £A-ia>£7(C~' div(eA)). (8)
^-ие^'К(1<л+ + /2)КсК1+ |/, д(аК) с1П. (2.1.15)
п ао п п ^
Правая часть равенства (2.1.15) представляет собой компактный оператор над функциями V,, У',, /,. /2. действующий из пространства Ь(0.) в пространство 12(П).
Действительно, согласно теории интегральных операторов со слабой особенностью [1.1], правая часть уравнения (2.1.15) является компактным оператором, действующий из пространства Ь (О) в пространство Ь2 (П,) для любого К > 0. Кроме того, ядро К экспоненциально убывает при г = ^х2 + у2 -» +оо . Следовательно, оператор в правой части уравнения (2.1.15), действующий из пространства Ь62(0.) в пространство 12(П), является пределом по норме операторов, действующих из пространства в пространство Ь2{Пд) для
любого Л > 0. ■
Из уравнения (2.1.15), вполне аналогично выводу (1.2.3), получается система интегральных уравнений
и(х,у,г) = ^-^?а[чи-е~(гег/^ксЮ.+
I^.-^ие^КсЮ. + е-(1 [ГЛк<К1,
пао а) а )
1(х,у,г) = -2 ао~а(.х>У>2)1 Г>_ {V а (Ум - е<г'ег^ )}— сЮ. +
а0+а(х,у,г)и дп У дп
(2.1.16)

оп пч^г а ) дп
е ^{х,у,г)со&(п,г]
рассматриваемая в пространстве 1¥2 (О) х /., (.5), для пары функций ли/. При этом в системе (2.1.16)
г(х, у, 2) = сое(п, г)
и = е 52т,, к = е (гК.
Так как £ г ар и1, то по теореме 1.2.1 система интегральных уравнений (2.1.16) однозначно разрешима в пространстве IV ]2 (О) х Ь2 (5) относительно функций ми? при заданных 2л- - периодических по 2 функциях /] е Ш2 (П) и /геД (П). При этом, и е Ш2 (П) п Ш2 (П О) . Таким образом, функция V, = е^и является классическим решением