Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом

• Автор: Сакбаев, Всеволод Жанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 291 с.

Оглавление
Введение

1 Корректность задачи Коши для уравнения с

вырожденным оператором

1.1 Уравнение Шредингера

1.1.1 Постановка задачи Коши

1.1.2 Определения сильного- и обобщенного решений

задачи Коши

1.1.3 Разрешимость задачи Коши в спектральных терминах

1.2 Постановка задачи Коши для уравнения Шредингера с

одномерным координатным пространством

1.2.1 Модельная задача Коши
1.2.2 Обобщения на коэфициенты уравнения
1.3 О граничных условиях в точках разрыва коэффициентов
дифференциального выражения оператора Ь
1.4 Регуляризация вырожденного оператора Шредингера
1.5 О задаче Коши для уравнения Фоккера-Планка, вырождающегося на полупрямой

1.5.1 Постановка задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка и ее корректность
1.5.2 Задачи, порожденные оператором L на полупрямых
1.5.3 Регуляризация уравнения Фоккера-Планка
1.5.4 Обобщения на поведение коэффициентов уравнения Фоккера-Планка
2 Спектральный подход к регуляризации
2.1 Аппроксимация некорректной задачи
последовательностью корректных задач
2.2 О регуляризации задачи Коши в банаховом пространстве.
2.3 О регуляризации задачи Коши в гильбертовом пространстве
2.4 Примеры вырожденных операторов
2.4.1 Операторы в одномерном пространстве
2.4.2 О влиянии геометрии области вырождения оператора на его индексы
2.4.3 Пример задачи Коши с вырожденным вне области оператором
2.4.4 Классификация в терминах индексов дефекта оператора Шредингера
2.5 Слабый предел последовательности решений регуляризованных задач и интегральное тождество
3 Последовательности регуляризованных операторов
плотности.
3.1 Динамика операторов плотности, порожденная задачей
Коши для уравнения Шредингера

3.1.1 О сходимости последовательности квантовых
состояний в топологии *-слабой сходимости
3.2 О сходимости спектральных мер
3.2.1 Приложения к динамике наблюдаемых
3.3 Многозначное отображение, опреде- ляемое регуляризацией
3.3.1 Множества однозначности многозначного отображения
3.3.2 Сходимость регуляризованных динамических
полугрупп
3.3.3 О физической интерпретации многозначного отображения
4 Вероятностные и динамические аспекты регуляризации
4.1 Пространства функций, интегрируемых по конечно
аддитивной мере
4.1.1 Меры на множестве подпоследовательностей
4.1.2 Интегрирование
4.2 Непрерывные селекции многозначных отображений
Усреднение динамических полугрупп
4.3 Регуляризация как динамика в расширенном пространстве
4.4 Регуляризация как случайный процесс
5 Динамические свойства семейства усредненных
отображений
5.1 Определение динамики математи- ческого ожидания по его
значению в некоторый момент времени

Для его доказательства утверждений теоремы 1.1.1 достаточно
проверить, что из предположений теоремы вытекает справедливость
условий теоремы Хилле-Иосиды (см. теорему 5 главы 17.4 [113]).
Согласно результатам монографии [90], для любого изометрического
оператора и в гильбертовом пространстве Ь2(Я) = Н существуют такие
ортогональные подпространства Ло(и), .ЯДи), что Ь2(Н) = Я'о(и) ®
Н( 17), подпространства ТТод(и) приводят оператор и, сужение и на
Яо(и) есть унитарное преобразование, а сужение и на Н (II) есть
односторонний сдвиг (см. [90]), в частности, для любого и € ТТДи)
выполняется условие Пт ||(и*)"н||^2(д) = 0. Подпространство Н(и)
допускает представление Я], (и) = ©^(и)"^, где <5 = КегХ]* С 7Д(и)
- блуждающее подпространство преобразования и. Представление Н =
Но ®Н называется разложением Вольда изометрического оператора и.
Каждая изометрическая полугруппа Х1(й), 7; > 0, в пространстве.
Н определяет разложение пространства в ортогональную сумму
унитарного и сдвигового подпростванств #0 = Г) 1т(и(£)) и
_____________ г>о
Н — и Кег(и(£)*), которые инвариантны относительно полугруппы «>о
и таковы, что сужение и(£)|я0, t > 0 является унитарным
преобразованием пространства Но, а сужение !!(£)[#!, £ > 0 действует в пространстве Н как односторонний сдвиг (см. [90], теорема 1.1). Из указанной теоремы, теоремы 1.1.1 и теоремы о связи существования сжимающей полугруппы с корректностью задачи Коши (см. [52]) следует теорема 1.1.2.
Теорема 1.1.2. Предположим, что оператор Ь - симметрический оператор в пространстве Н с индексами дефекта тй(Ь) = (гг_,п+). Если п+ = 0, тоо задача Коши (1), (2) при любом щ € Н имеет