Некоторые вопросы теории разрешимости многоточечных краевых задач и её приложения

• Автор: Катхим Аббас Хуссейн
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 95 с.

I. ГЛАВА I: Многоточечная краевая задача и некоторые свойства систем

дифференциальных уравнений

1.1 .Вспомогательные предложения

1.2. Система дифференцированных уравнений с параметром

1.3. Система дифференцированных уравнений с отклоняющимся аргументом

1.4. Непрерывная зависимость решений от краевых условий и параметра

1.5.Оценка решения и устойчивость по изменению правых частей системы

дифференцированных уравнений

1.6. Случай консервативной системы

1.7. Примеры приложений

II. ГЛАВА II: Интегро-дифференциальные и разностные уравнения

2.1. Многоточечная краевая задача
2.2. Случай системы с отклоняющимся аргументом
2.3. Краевая задача типа Валес-Пуасеона
2.4. О свойствах одной системы
III. ГЛАВА III: Приложение теории многоточечных краевых задач к бифуркационному анализу экстремалей
3.1. Краткое описание редукции Морса - Ботта в задаче о геодезической кривой на
многообразии
3.2.Вариационная краевая задача для ОДУ шестого порядка с трехмодовым вырождением
3.3.Схема Ляпунова - Шмидта, построение главной части ключевой функции

3.4. Изучение прогибов кирхгофова стержня посредством редукции Морса - Ботта
3.5. Редукция к эйлерову стержню
О г
3.6. Применение редуцирующей схемы Морса-Ботта
ЛИТЕРАТУРА

К изучению многоточечных краевых задач дифференциально -функциональных уравнений и их приложений приводят исследования многих вопросов автоматического регулирования, теории колебания, прикладной математики, математической физики, биологии.
Поэтому большой интерес представляет собой поиск новых методов доказательства существования и единственности решения краевых задач, характера зависимости решений от краевых условий
В работах [1]- [11] исследовались многие краевые задачи указанных выше уравнений разными методами с разными краевыми условиями, в том числе, когда преобразования аргумента зависят не только от времени, но и от самого решения.
В конце концов, эти различные комбинации краевых условий сводились к простейшим видам удобным для практического пользования.
Наша работа состоит из введения и трех глав.
В § 1.1. первой главы мы приводим вспомогательные предложения-леммы, являющиеся обобщениями леммы Гронуолла[12], которыми мы пользуемся в дальнейшем.
§1.2. посвящён многоточечной краевой задаче системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Доказательство существования и единственности краевой задачи проводим методом Зейделя[14], перенесенный нами из алгебры в теорию дифференциальных уравнений.
Этим же методом в § 1.3 мы доказываем теоремы существования и
единственности решения краевой задачи систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в виде следствия приводим классы систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющих достаточным условиям основной теоремы.
В §1.4. показываем, что решения, существование и единственность которых доказываем, непрерывно зависят от краевых условий и параметра.
Оценка решения, установленная в § 1.5., показывает устойчивость по отношению изменения правых частей системы дифференциальных уравнений.
В § 1.6. рассматриваем свойства консервативной(автономной) системы, когда правые части являются обобщённо-однородными функциями.
В §1.7. приводим примеры, иллюстрирующие теоретический материал предыдущих параграфов.
ГлаваН посвящена исследованию поведения решений систем интегро-дифференциальных и разностных уравнений.
Нам известной литературе до нас рассмотренные нами вопросы не изучались.
В главе III мы изучаем многоточечные краевые задачи и конечномерные редукции в бифуркационном анализе экстремалей. Полученные в этой главе результаты являются приложением к тому, что нами изложено в предыдущих параграфах.
Цель данной работы - описание многоточечной краевой задачи систем дифференциально-функциональных уравнений, непрерывной зависимости решений от этих условий, их устойчивости в зависимости от изменения правых частей системы, конечномерной редукции в бифуркационном анализе экстремалей.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.
1. Новые условия существования и единственности многоточечной краевой задачи.
2. Перенос алгебраического метода последовательных приближений на дифференциально-функциональные уравнения.
3. Нерерывная зависимость решений от краевых условий, параметра и их устойчивость от изменения правых частей системы

мк] = Sup i(t, 0С['ЬЩ 2ßlli‘n^) +
a
j f, (r. ßfV>]) + IF(t, s, ds
dT^i-h - ß^]
0i(t,OC[^ni 2],ßli’ni 1]^) = ßfi] + j ßli+1]dt + -+ j ... J ßП‘
ocl^"2]
I l l
i-1 s
Л^] = Mp1 + Lj ^ ßi_s [“[[1 + (1 + Pi-;)Li-,],
s=l 7
то задача (2.1.1 )-(2.1.2) имеет единственное решение в классе вектор функций (x(t)}, определенных на [a,b], i-e компоненты которых имеют непрерывные
производные пгго порядка на [а,Ь], 1 = 1 ,т
Доказательство. Решение задачи (2.1.1)-(2.1.2) будем искать методом последовательных приближений, рассмотренным в [14]. За нулевое приближение
>[*1
примем/?! , а k-е приближение вычисляем по формуле
x{fc](,i)(t) = Ф( (t,o^l,rii~2],ßlll,ni~1]) + fy.n,
drni~li>
[к-8.
(О +
(2.1.3)

ач = 1,1 > i ■

Полагая в (2.1.3) к=1 и применяя метод индукции по индексу 1, легко показать справедливость неравенства.
дер] г) — ßl1^ I < , i = 1,т .
(2.1.4)