Восстановление решений параболических уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений по неточным данным

• Автор: Введенская, Елена Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с.

Оглавление

Глава 1. Введение

1.1. Исторический обзор

1.2. Краткое содержание работы

1.3. Доклады п публикации

Глава 2. Постановка задач оптимального восстановления

линейного оператора и используемые результаты

2.1. Задача оптимального восстановления линейного оператора

по неточным исходным данным

2.2. Постановка задачи оптимального восстановления

линейного функционала
2.3. Понятие обобщенного решения уравнения параболического

2.4. Решение общего эволюционного уравнения
2.5. Собственные функции оператора Лапласа в еГмерном шаре
Глава 3. Оптимальное восстановление решения обобщенного
уравнения теплопроводности
3.1. Оптимальное восстановление решения эволюционного
уравнения
3.2. Оптимальное восстановление решения обобщенного
уравнения теплопроводности в й-мерном шаре
3.3. Восстановление решения уравнения теплопроводности в
круге и в шаре.
3.4. Восстановление решения уравнения теплопроводности на
отрезке.
Глава 4. Оптимальное восстановление решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
4.1. Постановка задачи
4.2. Построение семейства оптимальных методов
4.3. Некоторые частные случаи

Оглавление

Глава 5. Дискретные аналоги неравенства Л.В. Тайкова и
восстановление последовательностей, заданных неточно
5.1. Постановка задачи
5.2. Асимптотика погрешности оптимального восстановления
5.3. Случай малых погрешностей
5.4. Случай п
5.5. Случай п
Литература

Глава
Введение
1.1. Исторический обзор
Теория оптимального восстановления - это раздел теории приближений, посвященный решению задач, связанных с приближением линейных функционалов, или, в более общем случае, линейных операторов по точной или приближенной информации о них. При этом методы приближения, или, как принято их называть, восстановления, выбираются, исходя из условия максимально полного использования доступной информации. Идея такого подхода берет свое начало от работ А.Н. Колмогорова 1930-х годов [1], где предлагалось рассматривать наилучшие методы приближений, обслуживающие все объекты данного класса.
Впервые точная постановка задачи оптимального восстановления была сформулирована С.А. Смоляком [2]. Им же был получен первый результат в этой постановке - утверждение, что для централь-носимметрпчного и выпуклого класса функций среди оптимальных методов восстановления функционала существует линейный метод. В дальнейшем этот результат обобщался многими авторами: А.Г. Марчуком, К.Ю. Осипенко [3], К.Ю. Осипенко [4], C.A. Michelli, T.J. Rivlin [5], В.В. Арестовым [6] и другими.
В некотором смысле окончательный результат — необходимые и достаточные условия существования линейного оптимального метода — был получен Г.Г. Магарил-Ильяевым и К.Ю. Осипенко [7].
Результаты, касающиеся восстановления линейных операторов, пока не носят столь общего характера. Здесь, как правило, удается построить оптимальные методы восстановления лишь для операторов, действующих на евклидовых пространствах. Первые результаты подобного рода были получены в работах [5] (восстановление по точной

3.4. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОТРЕЗКЕ
Если положить fk = 0, к ф 1 и Д = 5etl, то
с (/(•)XX) = о,
т.е. выполнено условие (а), и, кроме того, выполнено условие (6).
Перейдем к задаче (с). В качестве множества Y будем рассматривать функции, имеющие конечное число ненулевых коэффициентов Фурье. Представим задачу (с) в виде
ко 2 оо
(3.16) ЛА -и,) +Ах fke~2k4l+
к=1 fc=A'o+l
fco 2 оо
+А2 £ Д2е"2*аЬ- min, fc— 1 fc=Ä)+l
/(•) G Ь2.
Решение задачи (3.16) имеет вид
f Xie~k4lyik + %е-кН2у2к , ^ ,
С- I —^--------; — , к < fco,
fk — Ч ie~2kHx + че~гкЧп-
^0, к > к0.
Остается воспользоваться теоремой 1. □