Предельные циклы уравнений Льенара

• Автор: Колюцкий, Григорий Аркадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Предельные циклы уравнений Льенара
чётной степени в случае фокуса
1.1. Свойства С-многочленов и унитарных С-многочленов
1.2. Мешок Бендиксона изнутри
1.3. Продолжение отображения Пуанкаре в комплексную область
1.4. Окончательная оценка числа предельных циклов
2. Предельные циклы обобщённых
уравнений Льенара нечётного типа
2.1. Особые точки обобщённых уравнений Льенара
2.2. Канонический вид обобщённых уравнений Льенара
2.3. Выталкивающие окрестности бесконечности
2.4. Глобальная геометрия обобщённых уравнений Льенара
2.5. Построение оснащённого мешка Бендиксона для обобщённых уравнений Льенара нечётного типа
2.6. Оценки индекса Бернштейна
2.7. Окрестность особой точки. Функция Ляпунова
2.8. Комплексификация отображения Пуанкаре
2.9. Верхние оценки на число предельных циклов
Литература
Введение
Актуальность темы. Настоящая диссертация относится к качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Работа посвящена получению явных верхних оценок на число предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости специального вида, т.н. уравнений Льенара
х = у-Г(х), у = -х,
и обобщённых уравнений Льенара
х = уН(х) - Д?(ж)
У = -х.
Напомним, что полиномиальное векторное поле на плоскости задаётся системой обыкновенных дифференциальных уравнений
'± = Р(у),(3)
У — Я(х, у),
где (х,у) £ М2, а Р(х,у) и ()(х,у) — многочлены.
Предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория векторного поля (иными словами — периодическое решение, в некоторой окрестности которого других периодических решений нет, соответственно все остальные траектории из
„сЬ"
Введение

этой окрестности наматываются на предельный цикл в положительном или отрицательном времени).
В своём знаменитом списке проблем XX века [7] Гильберт во второй части проблемы под номером 16 интересовался числом предельных циклов (Гильберт называл их предельными циклами Пуанкаре, по имени их первооткрывателя и автора определения) полиномиальных векторных полей на плоскости. С современной точки зрения вторая часть 16-ой проблемы Гильберта распадается на следующие вопросы [11]:
(I) Верно ли, что число предельных циклов индивидуального полиномиального векторного поля па плоскости конечно?
(II) Можно ли оценить число предельных циклов всех полиномиальных векторных поля на плоскости величиной Н(п) (называемой числом Гильберта), зависящей только от п — наибольшей из степеней многочленов Р и (?
(III) Если ответ на предыдушщй вопрос положителен, то оцепить сверху Н(п).
Эта проблема была сформулирована Гильбертом в 1900 г. в докладе на Н-ом Международном конгрессе математиков. За прошедшие более, чем сто лет удалось ответить (положительно) только па первый из этих трёх вопросов. Его называют проблемой (индивидуальной) конечности и иногда проблемой Дюлака, потому что Дюлаку принадлежит работа [3], содержащая неверное решение этой задачи. Необходимо отметить, что ошибка была найдена лишь через 60 лет после публикации труда Дюлака.
Окончательное решение проблемы конечности было получено Ю. С. Ильяшенко [8] и Экалем [5] независимо. Отметим
Глава 2. Предельные циклы обобщённых уравнений Лъенара нечётного типа
Лемма 2.1. Пусть система (2) удовлетворяет условиям:
п — нечётно, |ау| < С, |ф| < С, С > 2. (2.8)
Тогда множества:
= {(ж, у) е Ю2|а: > 16С'2, |у| < ч/ж}
= {(-х,у) е П£}
являются выталкивающими для системы (2), т.е. векторное поле на их границе направлено наружу.
Доказательство. Поскольку п — нечётно, образ векторного поля (2) под действием замены (2.6) равняется векторному полю (2.7), умноженному на неотрицательную функцию. Множества (2.9) под действие замены (2.6) переходят в:
и2 < |м| < а, а = —(2.10)
Поэтому достаточно показать, что область (2.10) является выталкивающей для векторного поля (2.7).
Для доказательства того факта, что векторное поле, заданное системой (2.7), на границе области (2.10) направлено наружу, продифференцируем функции, задающие куски границы множеств в силу системы (2).
На отрезке и = а, |н| < Да имеем:

- = 0(и) - иН{и) > 1 - ]Г Со? - Е Со? >
4 1=1 1=о
> 1 — 2С(а + Да) = 1 — —— — - > 0, поскольку С > 2,