Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления с границы

• Автор: Горшков, Алексей Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 91 с.

Содержание
Введение
1 Слабая поточечная стабилизация уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка [—1,1], с управлением на границе
1.1 Степенная стабилизация уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка
1.2 Пример отсутствия экспоненциальной стабилизации уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка
2 Стабилизация линейного параболического уравнения с постоянными коэффициентами, заданного во внешности
г ограниченной области, с управлением на границе
2.1 Постановка задачи
2.2 Доказательство теоремы о стабилизации параболического
уравнения
3 Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, с управлением на границе
3.1 Постановка задачи степенной стабилизации
3.2 Линейная задача Коши. Спектр оператора С
3.3 Существование и единственность решения нелинейной задачи Коши. Полугруппа 5Г

3.4 Инвариантные многообразия
3.5 Доказательство существования стабилизации решения полулинейного уравнения
Список литературы

Введение
Актуальность темы
Диссертация посвящена исследованию задачи стабилизации параболических уравнений, заданных во внешности ограниченных областей, при помощи граничного управления. Пусть В С 1^- ограниченная односвязная область с гладкой границей класса С°°. В области П = ЖНВ рассматривается параболическое уравнение, описывающее диффузию тепла в среде с нелинейным объемным стоком энергии:
Ду(£, х) - Ду(£, х) - уУ~1у = 0, х Е П, £6 1+. (1)
Заданы начальное и граничное условия
2/|г=о = Уо(ж), (2)
у(£,х') = п(£, Д), Д € <9П, (3)
где п(£,Д). является управлением.
Для заданного /с > 0 требуется найти такое управление п(£, Д), чтобы решение у(£, х) полученной краевой задачи (1) - (3) удовлетворяло оценке
Ь(1.-)|| н<%(4)
в некотором гильбертовом пространстве Н с нормой || • ||.
Для систем с распределенными параметрами, т.е. описываемых уравнениями в частных производных, исследованию задачи стабилизации предшествовало изучение задачи о точной управляемости. Пусть г/(£, •) -фазовая функция решения параболического уравнения второго порядка
Р(дидх){у){Ь,х) = /(£,х), £ <Е К+, х € П,

Положим начальное условие равным следующей функции:
(1.21)
О, х >
Теорема 1.2 Уравнение (1.5) с начальной функцией (1.21) не обладает свойством экспоненциальной стабилизируемости в пространстве
Доказательство: Зададимся произвольным а > 0. Мы докажем, что ни при каком граничном условии и(б) решение задачи (1.5) - (1.7) с начальным условием (1-21) не удовлетворяет условию стабилизации (1.20) на множестве х € Н С М+ ненулевой меры.
Предположим противное. Преобразование Лапласа (1.8) сводит задачу (1.5), (1.6) к обыкновенному дифференциальному уравнению с параметром г (1.9).
Для функций у(Ь,х) из пространства Я1,2(()) преобразование Лапласа у(т, х) при х € [0, со) является аналитической функцией в комплексной области Я = (т € С | Яе т > 0}. Более того, в предположении (1.20), функция у(т,х) при х € [0, оо) должна быть аналитична в большей области Я = {г £ С | Яе т > —а}.
Решение уравнения (1.9) дается явной формулой:
Здесь функция й(т) является преобразованием Лапласа управления и(£). Функция /т является ветвящейся с порядком ветвления равным двум.
НХ'Я).
(1.22)