Простые условия регулярности и применение вычетного метода к решению некоторых задач математической физики

• Автор: Али Эль-Кади, Адель Абдель Хаким
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 133 c. : ил

ГЛАВА I. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫЧЕТОВ РЕШЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ,СООТВЕТСТВУЮЩИХ НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§1,1. Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче

для уравнения колебаний струны

§1„2. Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче

для уравнения стержня

§1.3. Изучение спектральной задачи для уравнения

4-го порядка с переменными коэффициентами..

Глава II. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ

§2.1. Решение смешанных задач для уравнения колебаний струны

§2.2. Решение смешанных задач для уравнения колебания стержня

§2.3. Решение смешанных задач колебаний прямоугольной мембраны
§2.4. Решение одной задачи колебаний прямоугольной пластинки
ЛИТЕРАТУРА

В связи с многочисленными линейными задачами уравнений в частных производных , не поддающихся по той или другой причине решению известным классическим методом Фурье, в работах М.Л.Расулова
задач: I) одномерных смешанных задач для системы уравнений с разделяющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими точки разрыва первого рода, при граничных условиях, не содержащих производных по времени;
2) одномерных смешанных задач для системы уравнений с неразделя-ющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими разрывы первого рода, при граничных условиях, не содержащих только производной по времени старшего порядка;
3) многомерные смешанные задачи для уравнений с разделяющимися переменными.
В цитированных выше работах получены вычетные представления решений классов задач 1)-3) в виде полных интегральных вычетов мероморфных функций, конструируемых с помощью решений соответствующих спектральных задач и задач Коши с комплексным параметром. Следует подчеркнуть, что наподобие методу Фурье, все эти представления получены с помощью формул разложения функций пространственных переменных в ряды полных интегральных вычетов решений спектральных задач, на чем базируется вычетный метод.
При решении задач класса I) вспомогательным средством является формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина [7 - 10] для случая спектральной задачи для системы уравнений с разрывными коэффициентами.
При решении задач класса 2) формулы разложения типа Биркгофа--Тамаркина оказались недостаточными. В связи с этим в работах
б] был разработан вычетный метод решения широких классов

[1-5*1 М. Л .Расулова впервые установлены так называемые формулы кратных разложений.
Что касается задач класса 3) , то для получения вычетного представления их решений необходима была формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина для случая многомерных спектральных задач, что сделано в работе [5]
Таким образом, основой вычетного метода в каждом отдельном случае задач 1)-3) является спектральная теория для соответствующей спектральной! задачи, для которых установлены легко проверяемые условия (регулярности), при выполнении которых доказана справедливость необходимой формулы разложения. Однако в силу достаточной общности рассматриваемых задач проверка выполнения упомянутых условий сопровождается соответствующими трудностями,обусловленными в первую очередь общностью рассматриваемых задач.
Б связи с этим применение вычетного метода к задачам математической физики, эффективное решение которых возможно только вычет-ным методом, потребовало прежде всего упрощения условий (регулярности) за счет сужения класса рассматриваемых задач, при выполнении которых справедлива соответствующая формула разложения.
В настоящей работе для смешанных задач колебаний струны,стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки найдены легко проверяемые условия, при выполнении которых доказана справедливость соответствующих форгфл разложения, на базе которых в главе П получены вычетные представления решений соответствующих смешанных задач при линейных граничных условиях общего вида.
Таким образом, выделены все разрешимые линейные смешанные задачи для уравнений струны, стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки.
Работа состоит из двух глав.
Глава I посвящена вопросу разложения функций в ряды полных

+ е
Vî.« A„«»ß,(ftkxr' A„W+%nü)^ А„ОЭ*глчЫ<&
3,(5.« A„(4+B„w« ’ Ач,01*ВчзЫеЧ A„öl+yV®*
X?.jc
— О J
3,ö,*J A,po*tvWe* 1 А1ааьВпа)е £* A^jfRj^e<
1Г ' ■fy
% M A4iW+BVfw/êl A^^B4i(Ve є* Ay W+ &v/a;/ £<«
+ с
.X^*
3,(з,« A„(X>ß„We>Ei Д,(Ч*В„(«е£‘ AnW-.8„(W^

4,(i.>) A„W*B*Me ’ A„(»;*BY!(«/e’ A totbW6"*
“ 5
(1.2.50)
Подставляя (1.2.49) в (1.2.50) , получим:
Д06*,і,х)
Д(Л7
^ 1 0,3, А) +
А(А)’е
->м

к=з
А11сМ AnW+ß^>je^ АігМ+ВцМеЄі

ДЧКЫ ьиъчш 4 АЧї(х)+Е>«е 3 Ач„М+Вч¥Ш
Л£у