Условия сходимости и локализации спектральных разложений, отвечающих эллиптическим операторам

• Автор: Халмухамедов, Алимджан Рахимович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 c. : ил

§ I. Основные обозначения и определения

§ 2, Условия равномерной сходимости и локализации спектральных разложений, отвечающих некоторым эллиптическим операторам с сингулярными коэффициентами
§ 3. Условия локализации спектральных разложений,~ связанных с опера тором., Щредш'ії’єра с потенциалом, сингулярным на многоотфазиях
'V ;
ГЛАВА I. УСЛОВИЯ ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ, ОТВЕЧАЮЩИХ СТЕЛЕШЬ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

§ I. Оценка функции Грина

§ 2. Формула среднего значения и следствия из неё

§ 3. Оценка коэгойициентов Фурье функций из класса

§ 4. Условия, обеспечивающие поточечную сходимость и локализацию спектральных разложении
ГЛАВА 2. УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ОПЕРАТОРОМ ШРЕДИНГЕРА В Я
§ I. Оценка функции Грина вспомогательной задачи
и следствия из неё
§ 2. Условия, обеспечивающие равномерную сходимость и локализацию спектральных разложений
§ 3. Обращение в нуль в особой точке собственных .. функций оператора Шредингера, с сильно сингулярным потенциалом

ГЛАВА 3. УСЛОВИЯ ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОТВЕЧАЮЩИХ ОПЕРАТОРУ ШРЕДИНГЕРА С ПОТЕНЦИАЛОМ, СИНГУЛЯРНЫМ НА МНОГООБРАЗИЯХ
§ I. Оценка функции Грина и следствия из неё
§ 2. Оценка коэффициентов Фурье функций из класса
§ 3. Условия, обеспечивающие локализацию спектральных разложений
ЛИТЕРАТУРА

§ I. Основные обозначения и определения
1°. Пусть Л - произвольная Л/ -мерная область, быть может, совпадающая со всем А/ -мерным пространством /? . Рассмотрим полином по у £ % четного порядка /77= 3./У)' с коэффициентами из С 00(Л)
А(х,у)= Г а^х)^
нам - ' аЛ)
В этом равенстве о( обозначает мультиивдекс оС~(оС1}оС^7
■ ..,осм), Л1= сС^оС^... +«*,, гх Т/*— 1?"
где Т« - компоненты вектора у £ к" . Положим далее
Ф ~ 7 Ьч » = ЯЛ
Формальный дифференциальный оператор
А (х^)-Л а.^т'ЗЛ (х.2)
1ы.1<т
называется эллиптическим оператором порядка /77 , если для всех зо еЛ и у £ при
а(х,у) = 2 а^с&у^уо
юц-т
Обозначим через ОТ-/2.; пространство функций, бесконечно дифференцируемых в области -/2. и имеющих компактный носитель в Л.
Обозначим через Д оператор, действующи! в гильбертовом пространстве Ь Л(Л) с областью определения ЗХА)=<£Ы) по правилу А и ~ А (сс,3$)и(эо) , и с0“КЛ).
Дифференциальный оператор (1,2) называется формально самосопряженным, если оператор Д является симметрическим, т.е. если для любых функций и. и С/ из С?(Л) выполняется
достаточно заметить, что справедливо равенство
У(А-?)% [(Щи№+Семч£Л,
и применить лемму 3.1.
Оценим теперь второй член в правой части равенства (3.6).
Так как
то, используя неравенства
К-ЩсемтюЫ С1х-хГт-‘к'ы,)№(*)1,
и применяя лемму 3.1, получим справедливость неравенства (3.2). Леша 3.2 доказана.
Основным результатом настоящего параграфа является следующая лемма:
Леша 3.3. Пусть - произвольное деиствителъное число. Тогда для любой функции £€Л(А) справедливо неравенство л Ж.
т ^-РНил) < с№Иц[(л) ■
■я-*/ (3-7)
Доказательство леммы 3.3.
В силу леммы 3.2 и теоремы 4.3.2/2 книги получим, что пространство Д/Ш , У=в[%], 0<9<± - есть интерполяционное пространство относительно пары