Методы вычисления дифференциальных инвариантов и их приложения к исследованию дифференциальных уравнений

• Автор: Юмагужин, Валерий Афтахович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Переславль-Залесский
• Количество страниц: 240 с.

Оглавление
0 Введение
0.1 Обзор результатов по дифференциальным инвариантам и их применению
к исследованию дифференциальных уравнений
0.2 Краткое содержание диссертации
1 Предварительные сведения
1.1 Расслоения джетов
1.1.1 Джеты сечений
1.1.2 Распределения Картана
1.1.3 Преобразования Ли
1.1.4 Поля Ли
1.2 Дифференциальные уравнения
1.2.1 Уравнения и их решения I . . .
1.2.2 Продолжения уравнений
1.2.3 Символы
1.2.4 Характеристические ковекторы
1.2.5 Классические симметрии
2 Дифференциальные инварианты
2.1 Естественные расслоения
2.2 Расслоения джетов сечений
2.2.1 Поднятия диффеоморфизмов
2.2.2 Дифференциальные инварианты
2.2.3 Поднятие векторных полей

п- ОГЛАВЛЕНИЕ
2.3 Формальные векторные поля
2.4 Пространства формальных симметрий
2.5 Алгебра изотропии
2.6 Горизонтальные подпространства
2.7 Структурные дифференциальные инварианты
2.7.1 Структурные функции
2.7.2 Тензорные инварианты
2.7.3 Выделенные горизонтальные подпространства
2.7.4 Линейные связности на сечениях
2.8 Пример. Почти-комплексные структуры
2.8.1 Расслоение почти-комплексных структур
2.8.2 Пространства формальных симметрий
2.8.3 Инвариантное дополнение
2.8.4 Тензорный дифференциальный инвариант
2.9 Скалярные дифференциальные инварианты
2.9.1 Скалярные дифференциальные
инварианты порядка к
2.9.2 Алгебра скалярных дифференциальных
инвариантов
2.10 Заключительные замечания
3 Уравнения газовой динамики
3.1 Уравнения адиабатического движения газа
3.2 Одномерная газовая динамика
3.2.1 Расслоение 3-тканей
3.2.2 Дифференциальные инварианты
3.2.3 Локально-плоские решения
3.3 Дополнение. Скалярные инварианты 3-тканей
3.3.1 Алгебры изотропии при к >
3.3.2 Орбиты
3.3.3 Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов

ОГЛАВЛЕНИЕ у
3.4 Двумерная газовая динамика
3.4.1 Расслоение геометрических структур
3.4.2 Дифференциальные инварианты
3.4.3 Дифференциальные инварианты на решениях
3.4.4 Решения без кручения
3.5 Трехмерная газовая динамика
3.5.1 Расслоение геометрических структур
3.5.2 Дифференциальные инварианты
3.5.3 Дифференциальные инварианты на решениях
3.5.4 Решения с тривиальными структурными инвариантами
4 Метрики на решениях
4.1 Предварительные сведения
4.1.1 Линейная связность
4.1.2 Метрики
4.2 Уравнение Хохлова-Заболотской
4.2.1 Нелинейный дифференциальный оператор
4.2.2 Символы оператора Д
4.2.3 Метрики Минковского на решениях
4.2.4 Явные решения
4.3 Уравнение трансзвукового поток газа
4.3.1 Метрика на решениях
4.3.2 Явные решения
4.4 Уравнения коротких волн
4.4.1 Метрика на решениях
4.4.2 Явные решения
5 Уравнения Монжа-Амнера
5.1 Геометрия уравнения Монжа-Ампера
5.1.1 Расслоение джетов
5.1.2 Гиперболичность
5.1.3 Косоортогональные распределения
1.1. РАССЛОЕНИЯ ДЖЕТОВ
Обозначим через Dk+lgk+l значение векторного поля Dk+1 в точке вк+і- Тогда векторное пространство Xgk+l натянуто на вектора Dk+1 |а4+1, .... Dk+1gk+l,
^ek+l = (Dk^ek+1,...,D^ek+1) . (1.4)
Из этого координатного описания пространства Хдк следует, что соответствие
&к+1 1—► ЗСо1+
является биекцией.
1.1.2 Распределения Картана
Пусть 9к Є JkK. Через Fek обозначим слой расслоения кк+,к : Jk+1n —> Jkж над точкой в к,
Fek = (TTfc+l.Ar)“1 (^Аг)-
Плоскостью Картана Cgk в точке 9k Є Jk7Г называется линейная оболочка всех таких подпространств Xgk+l, что вк+] Є Fgk:
Cgk = (Xek+1, вк+і є Fgk) .
Учитывая (1.4) и (1.3), видим, что плоскость С$к натянута на все вектора вида d/duh-jk и вект0Ра D+1W+i’ ■ • •> Dn+1ek+1, где вк+і Є Fgk:
Свк = (Dj+1 Iflfe+i > d/duJJi,...J*=l,...,n,i=l.m).
Ясно, что Cg0 совпадает с касательным пространством Tg0J°тг к J0тт в точке во
Cg0 = Tg0J.
Плоскость Картана С$к, к = 1,2,..., можно определить как аннулятор следующей системы 1-форм, которые называются формами Картана:
U' = du' - u)dx ..., U'v..Jk , = - ulh,..jk_ddx].
Поле плоскостей Картана на Jk/w
С : вк е—» Сдк называется распределением Картана на Jkir.