Построение ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений с параметром

• Автор: Нелюхин, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 129 с.

Оглавление.
Введение
Глава 1. Построение первого приближения к ненулевому периодическому решению неавтономной системы дифференциальных уравнений
§1. Сведение задачи о нахождении первого ненулевого приближения к ненулевому периодическому решению системы дифференциальных уравнений в неособенном случае к нахождению решения нелинейных операторных уравнений
§2. Построение первого ненулевого приближения в неособенном случае. ..
§3. Построение первого ненулевого приближения в особенном случае
Глава 2. Построение и сходимость высших периодических приближений к ненулевому периодическому решению неавтономной системы дифференциальных уравнений
§4. Построение и сходимость высших периодических приближений к ненулевому периодическому решению в неособенном случае
§5. Построение и сходимость высших периодических приближений к ненулевому периодическому решению в особенном случае
Глава 3. Построение периодического решения дифференциального уравнения
путем перехода к интегральному уравнению
§6. Постановка задачи. Основная теорема
§7. Неособенный случай
§8. Особенный случай
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность темы. Задача построения периодических решений систем дифференциальных уравнений на данный момент достаточно далека от своего разрешения. Необходимость решения данной задачи возникает' при математическом моделировании физических, химических, биологических процессов [1, 3, 8, 12, 19, 22, 25, 26, 37, 60, 75, 84, 91 - 99]. Большое количество работ, посвященных этой теме, показывает, что многообразие конкретных систем, описывающих реальные процессы, и сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению.
Эта задача становится еще более сложной, если система дифференциальных уравнений имеет тривиальное (нулевое) решение и требуется построить ее ненулевое периодическое решение. Рассмотрим, например, уравнение вида
alSi+a2x+a3(al(t)+aix2 )х = 0, где при различных значениях констант а,, / = 1~4 и периодической функции а, (0 получаются известные уравнения Хилла и Матье, которые имеют нулевое решение. Вопросу построения периодических решений этих двух уравнений посвящены работы [1, 12, 17, 25, 26, 55, 92], но их недостатком является то, что они не объясняют строго математически, почему получающееся периодическое решение будет ненулевым. Существуют системы более сложного вида, для которых пока еще не выработаны общие методы построения их ненулевых периодических решений.
Цель работы состоит в построении ненулевого периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений вида
д = A(t)x+f(x, t, е), (0.1)
в которой х - л-мерный вектор-столбец, A(j) - п х п -матрица, непрерывная и со -периодическая по t, со > 0, s) - »-мерная вектор-функция, непре-
рывная по своим переменным и со -периодическая по t, е — от-мерный вектор-параметр.

Методика исследования. Метод построения ненулевого периодического решения системы (0.1) состоит в построении последовательных приближений, каждое из которых должно являться со -периодической вектор-функцией. Вначале ставится задача нахождения первого ненулевого приближения, решаемая методом неподвижной точки нелинейного оператора. Высшие периодические приближения строятся при условии, чтобы в дальнейшем не возникало непериодических членов по времени. Существенным при этом является вопрос о сходимости последовательных периодических приближений к ненулевому периодическому решению системы (0.1).
Еще одним из методов, примененных для построения периодического решения системы (0.1) в данной работе, является способ перехода от дифференциального уравнения к интегральному.
Основные результаты, имеющиеся но данной проблеме. Главные идеи качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений содержатся в книгах А. Пуанкаре [72], А. М. Ляпунова [57], В. В. Немыцкого, В. В. Степанова [68], Л. С. Понтряшна [71], Ю. Н. Бибикова [7], Н. П. Еру-гина [32, 33], Ф. Хартмана [88].
С развитием техники и постановкой новых задач в механике, электротехнике в начале XX века на первое место выходит теория нелинейных колебаний. Основы этой теории были заложены А. Пуанкаре [72], А. М. Ляпуновым [57], И. Г. Малкиным [58].
Своеобразным синтезом математики и механики является монография Л. И. Мандельштама [59], в которой автор рассматривает вопросы колебаний нелинейных систем дифференциальных уравнений с целью применения их к конкретным моделям акустики, электротехники и другим областям техники.
Монография Б. В. Булгакова [14] подытожила его многочисленные исследования. Книга содержит огромный материал по колебаниям различного вида линейных и нелинейных систем (консервативных, диссипативных и
Найдется число р е(0, г0] такое, что при всех р е(0, />,] и всех у)
Зафиксируем р е (0, р,]. Тогда существует число ре (О, р] такое, что при всех ре(0, р], ре(7(0; Тогда при фиксированных р <= (0, р], р е(0, р, | существует 4 е(0, <5] такое, что при всех ,« е{7(0; <5[) = |ре£м: |[р{(< ^], СеТ„_г(<т) выполняются неравенства
Таким образом, в силу неравенств (1.31), (1.42) - (1.45) при фиксированных р є (0, р]. р. є(0, р, ], ре 1/(0; 8) нелинейный и непрерывный по С оператор, определенный правой частью уравнения (1.41), отображает множество Т„_г(сг) = [р є /Г" '': |с| < <т| в себя. Тогда по теореме Боля-Брауэра на множестве К-гі17) существует неподвижная точка £-£*, С єТв_,(ст) этого оператора, являющаяся решением уравнения (1.41). Теорема доказана.
Замечание 1.5. Определив по теореме 1.6 вектор £=£* еУп_г( 2.3. Пусть гап^С(г),£(,)) = I, 0 <1<п-г. С учетом равенства (1.34) урав-
(1.43)
[[/у-,<9(р)|| < а 19(1, р3Ьху(р + £0)р*~’ <<7/9(1.
(1.44)
РГ7'Хс!2)(р^, р) <~~, Ауу(м + роЦв^гСр)! < а/9й /=2 ^ 1
19с/,
р1-*Ь^г„-г(рІ£ + 4)|| < <Т / ад,
[рр'р1“5 В^л-, Оф[0>| < РГ>'"ЦВ(Р)|| <сг/9с/.
(1.45)