Предельные свойства динамических систем

• Автор: Голенищева-Кутузова, Татьяна Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с. : ил.

0.1. Временные средние точки и меры

0.2. Динамические системы с комплексным временем

1. Временные средние: пример Боуэна

1.1. Введение. Пример Боуэна и ЗШЗ-меры

1.1.1. Описание примера Боуэна

1.1.2. Постановка задачи

1.1.3. Связь с 8ШЗ-мерами

1.2. Формулировка теоремы об отсутствии предела

1.3. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения

1.4. Формулировки основных результатов

1.5. Доказательства основных утверждений

1.6. Доказательства вспомогательных утверждений
2. Пример отсутствия временных средних коразмерности 2 — 0
2.1. Коразмерность динамической системы
2.2. Описание потока Черри
2.2.1. Поток Черри - пример нетривиального квазиминимального множества
2.2.2. Двойной поток Черри: различные фазовые портреты
2.3. Формулировка результатов
2.4. Доказательство основных утверждений
2.4.1. Параметризация
2.4.2. Основная идея
2.4.3. Доказательство отсутствия временных средних точек

2.4.4. Доказательство отсутствия временных средних меры
3. Аналитические слоения
3.1. Резюме
3.2. Введение
3.3. Бесконечность числа цилиндрических слоев для типичного аналитического слоения в С2
3.3.1. Формулировка результата
3.3.2. Построение плотного множества с сепаратрисной связкой и вспомогательные леммы
3.3.3. Существование счетного числа гомологически независимых предельных циклов
3.3.4. Группа монодромии седловой связки слоения То
3.4. Минимальность и эргодичность типичного аналитического слоения С?
3.4.1. Формулировка результата
3.4.2. План доказательства: идея конструкции
3.4.3. Обозначения и определения
3.4.4. Вспомогательная конструкция (“черный ящик”)
3.4.5. Устойчивая минимальность в компактной области при наличии “черного яшика”
3.4.6. Открытое и плотное множество слоений с “черным ящиком”
3.4.7. Построение искомого остаточного множества
3.4.8. Доказательства технических лемм
Настоящая диссертация посвящена исследованию предельного поведения динамических систем с вещественным и комплексным временем.
Главы 1 и 2 посвящены изучению предельного поведения динамических систем с вещественным непрерывным временем, а именно, вопросу существования временных средних для типичной точки и для типичной меры.
Глава 3 посвящена изучению предельного поведения динамических систем с комплексным временем, а именно,типичным свойствам аналитических векторных полей с комплексным временем и заданных ими слоений.
0.1. Временные средние точки и меры.
Первыми из утверждений, описывающих временные средние индивидуальных точек и мер, вероятно, следует считать теорему Биркгофа-Хинчина, утверждающую, что предел временных средних для почти любой точки по эргодической инвариантной мере совпадает с этой мерой, и теорему Крылова-Боголюбова, которая гласит, что любая предельная точка временных средних любой меры является инвариантной мерой. В случае наличия абсолютно непрерывной инвариантной меры (скажем, в случае гамильтоновой динамики или для растягивающего отображения) эти же утверждения описывают и пределы временных средних типичных в смысле меры Лебега точек и временных средних абсолютно непрерывных мер.
Однако, часто динамическая система априори не обладает инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. Тем не менее, из физических соображений для таких систем естественным является именно постановка вопроса про асимптотическое поведение типичной в смысле меры Лебега точки.
Исследования этого вопроса были начаты Я. Г. Синаем [35], Д. Рюэллем [34] и Р

Глава 3.
Топологические свойства типичных аналитических слоений комплексной плоскости
3.1. Резюме
Данная Глава IIосвящена изучению аналитических слоений комплексной плоскости С2. Известно, что типичное полиномиальное векторное поле степени выше 2 на плоскости имеет счетное число комплексных предельных циклов, гомологически независимых на слоях. В этой главе доказано аналогичное утверждение для аналитических векторных полей на комплексной плоскости. Также доказан результат, аналогичный Теореме Худай-Веренова, Ильяшенко, Щербакова и Накаи([39, 47, 15, 27]) для полиномиальных векторных полей, который говорит, что типичное полиномиальное слоение комплексной плоскости минимально и эргодично.
3.2. Введение
Эта Глава IIосвящена изучению аналитических слоений комплексной плоскости С2. Напомним, что аналитическое слоение с особенностями С2 — это слоение на траектории с