Обратные задачи для системы уравнений Максвелла в стационарном случае

• Автор: Мамаюсупов, Омурзак Шеранович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 141 c. : ил

ГЛАВА I. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ... 18 § IЛ.Одномерная обратная задача по определению неизвестного коэффициента

§ 1.2.Определение коэффициентов эллиптического уравнения

§ 1.3.Многомерная обратная задача в линейном приближении

ГЛАВА II. ОДНОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

§ 2.1.Обратные задачи в изотропной среде

§ 2.2.Обратные задачи при специальной анизотропии

§ 2.3.Линеаризованная обратная задача в гиротропной

среде
ГЛАВА III. ТРЕХМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДНЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

§ 3.1.Общая схема линеаризации

§ 3.2.Обратная задача в изотропной немагнитной среде

ЛИТЕРАТУРА

Задачи определения уравнений математической физики по информации о решениях этих уравнений принято называть обратными задачами. Если искомое дифференциальное уравнение является линейным, то обратная задача сводится к отысканию неизвестных коэффициентов этого уравнения. Особенностью обратных задач математической физики является то, что они часто не являются корректно поставленными в смысле классического определения корректности. Тем не менее большая прикладная важность ставит их в ряд актуальных проблем современной математики.
В работах [48, 52} А.Н.Тихонов дал определение корректности, отличное от классического. История развития теории и методов решения некорректных задач с подробной библиографией изложены в монографиях А.Н.Тихонова, В.Я.Арсенина [53] ,
М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, С.П.Шишатского [23], В.К.Иванова, В.В.Васина, В.П.Тананы [15] , В.А.Морозова [27]
Изложению теории обратных задач, а также различных методов их решения посвящены ряд статьей и монографий [1-5,
7 - 9, II - 26, 28, 29, 32 - 50, 54 - 58} . Наиболее полно современное состояние теории обратных задач отражено в работах М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, С.П.Шишатского [23] ,
В.Г.Романова [37 - 41] , М.М.Лаврентьева, К.Г.Резницкая, В.Г.Яхно [21] , Ю.Е.Аниконова [2] , А.Л.Бухгейма [ь] , И.М. Гельфанда, Б.М.Левитана [ю] , М.И.Иманалиева [1б] , В.А.

Марченко [25] , Л.П.Нижника [28] , Л.Д.Фаддеева [55] , где имеется также обширная библиография по этому вопросу.
Одной из важнейших в прикладном отношении задач геофизики является задача электромагнитной разведки на переменном токе, которая в математическом отношении является задачей определения коэффициентов электропроводности <о , диэлектрической б и магнитной проницаемостей среды из системы уравнений Максвелла в стационарном случае (то есть при фиксированной частоте колебаний по времени):
гЫН= (б+с»ОЕ *1ст■ (0-‘)
где Е ~ (Ех ,Еу>Ег), Н = (Их* Ну , Нё ) - напряженности
электрического и магнитного полей, ]ст - плотность внешнего электрического тока. При этом * означает транспонирование вектора, то есть, Е - (Ех ■> Еу , Е^ означает, что Е ~
вектор-столбец составленный из компонент Ех , , Е? ■
В работах А.Н.Тихонова и его учеников [49 - 51, 54] исследованы некоторые одномерные постановки обратной задачи для системы уравнений (0.1) в изотропной немагнитной среде а в общем случае обратная задача для стационарной системы уравнений Максвелла в неоднородных средах практически не была изучена.
В монографии В.Г.Романова, С.И.Кабанихина, Т.П.Пухначе-вой [45] изучены ряд постановок обратных задач для нестационарной системы уравнений Максвелла в неоднородных средах. Различным постановкам обратных задач для систем уравнений Максвелла посвящены работы [3, II, 12, 18, 24, 32, 35, 39 -42, 44, 46, 47].

Ък1(°)-Г°) | ^Г^г‘, (1.1.51)
К-0,1 П,
Для функции $■ (/*) при любом 1|и| ^ £ < имеет место равенство
" 1(К)(о)-ЪЧ(о)
к! ^ + (1кЛ€0)
й* л * (к)
V *> ^ Г мк
+ 1-7Г- /“ + 1 к! У* ■
К.~1 - К-Я+1
Из (1.1.54) и определения следует, что
к=0>и~’п- {1ЛМ)
Воспользуемся для оценки (^(Г/И) равенством (1.1.60) и полученными неравенствами (1.1.58), (1.1.59), (1.1.61).
I £ («)‘к+ Г *«. (й)й)( +
® К-0 К^о
<7С>0 *• •/ |£ л и ? г1 (i^i• ££*)
+ 11 У / ^ !>"„*■ + 11£1 £1
* *. ЫГ г; *-* '
Выберем теперь /7= П(£) , А = ^Г<0 > 2 = 2 ГО из условий
^ опп1 _ о ,, £ ___ _ А /л у /’а)

При таком выборе /?, /, 2 для ^(А1) справедлива
оценка * 4- 2* Гб» ) /, , /у
№1 < ^ - (^-*0