О G-сходимости и усреднении квазилинейных эллиптических систем

• Автор: Амучиева, Татьяна Сулеймановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 99 с.

Глава I. Вспомогательные результаты
§ 1. Об одной краевой задаче Римана-Гильберта для
квазилинейной эллиптической системы
§2. Интегральное тождество для элементов ядра А*[г})
§ 3. Периодические решения одной переопределенной
системы
§ 4. Непрерывная дифференцируемость элементов
ядра А* (г?)
§5. О липшицевости по г) элементов КегА*(/7)
§6. Непрерывная дифференцируемость по г
элементов Кег А* (г/)
Глава II.Усреднение квазилинейных эллиптических систем
§ 1. Вспомогательные леммы
§ 2. Усреднение квазилинейных эллиптических систем
§ 3. Некоторые свойства усредненной системы
§ 4. Примеры по усреднению систем
§5. Усреднение недивергентных квазилинейных
эллиптических операторов второго порядка
Ш Глава III. (7-компактность одного класса квазилинейных
эллиптических систем
§1.0 С-сходимости одного класса линейных
эллиптических систем
§ 2. Некоторые свойства (7-предела систем специального
вида
§3.0 (7-компактности одного класса квазилинейных
эллиптических систем первого порядка
§ 4. Усреднение систем из класса А0(щ, гд, 7)
^ Литература

1. Вопрос об усреднении дифференциальных операторов с частными производными и связанный с ним более общий вопрос о (?-сходимости последовательности операторов возник в связи с задачами математической физики. В частности, различные задачи механики сильно неоднородных сред приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Физические процессы, рассматриваемые в таких средах, описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к изучению уравнений с быстро меняющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости, в теории гетерогенных сред и композитных материалов. Непосредственное решение таких задач, как правило, невозможно. Поэтому возникает вопрос о постороении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые по отношению к исходным уравнениям, описывающим сильно неоднородную среду, называются усредненными. Часто такие дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты и дают возможность определить с большой точностью эффективные характеристики первоначальной среды.
Целью данной диссертационной работы является изучение О-сходимости и усреднение квазилинейных эллиптических систем первого порядка на плоскости.
Все результаты, излагаемые в диссертации, являются новыми, полученными впервые.
Термин усреднение в первую очередь ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах А. Пуанкаре, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [3].
Для дифференциальных уравнений с частными производными задачи усреднения изучались физиками и механиками еще со времен Максвелла и Рэлея, но они долгое время оставались вне интересов математиков. Однако, начиная с середины 60-х годов 20-го
столетия, теория усреднения для уравнений с частными производными стала интенсивно развиваться развиваться математиками, что вызвано не только многочисленными приложениями (в первую очередь в теории композитных материалов), но и появлением новых глубоких идей и понятий, важных и для самой математики. Понятие G-сходимости последовательности операторов было введено в работах С.Спаньоло ([41], [42]) в 1967 г. и в применении к дивергентным уравнениям второго порядка впервые исследовалось в работах Е. Де Джорджи и С. Спаньоло ([40], [41], [42]).
В настоящее время теории усреднения и связанными с ней вопросами асимптотического анализа, G-сходимости, Г-сходимости функционалов посвящена большая математическая литература. Это книги В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова [19], А. Бенсусана, Ж.-Л. Лионса, Г. Папаниколау [38], Э. Санчес-Паленсии [24], Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко [1], В.В. Жикова, С.М. Козлова, O.A. Олейник [10] и др.
Для дивергентных операторов произвольного порядка вопросы G -сходимости и усреднения рассматривались в работах Жикова В.В., Козлова С.М., Олейник O.A. и Ха Тьен Нгоана ([10]).
Для линейных недивергентных операторов вопросы усреднения и G-сходимости рассматривались в работах Фрейдлина [34], Жикова В.В., Сиражудинова М.М. [12], [13], [25]-[28]. Следует отметить, что эти вопросы для недивергентных операторов представляют собой задачу более трудную, чем для дивергентных операторов
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Принята двойная нумерация. Первое число означает номер параграфа в данной главе, второе — номер утверждения или формулы этого параграфа. Если имеется ссылка на утверждение или формулу из другой главы, указывается также номер главы.
В работе мы будем придерживаться следущих обозначений и понятий:
R2 — евклидово пространство двух измерений (плоскость) со скалярным произведением: х ■ у — ху + Х2У2 ■
R+ — множество положительных действительных чисел.

Лемма 1.5. Пусть и£к,и 6 W$(Q), иЕк и в W$(Q), <р е Cq°(Q), Р{х,Г]) = {Pl(x,r]),P2{x,ri)} € — решение системы
(2.2) гл.1. Тогда
l(ek) d= j{(Pi{£k1x,u£k)ali(Eb1x,uek)+

+P2(ek1x,uSk)a2i(£k1x,uek)ip^iU2ek}dx = (1.6)
= J {(Pi{£k1x,u)au(s^1x,u) +

+P2{£((1 x,u)a2i{e'j(1 x,u)tpS>iU2sk}dx + o(ek). Доказательство. Преобразуем I(£k) следующим образом:Х(е^)
= J |-Pi(£fc 1x,u)au(£k1x,u£k)+P2(ek 1x,u)a2i{ek 1 x,uek)^^%U2ekdx+

I |(А(^хх,«е,) - Р1{£к1х,и))аи(£к1х,иек)+

+ (Р2{£к1х, и£к) - Р2{ек1х, и))а2г{£к1х, иЕк) |<р®Ш2ек<1х.
В силу компактности вложения Ур(С}) С С((,)) (при р > 2) иЕк —> и В С(С}) И ВВИДУ ТОГО, ЧТО Рх(:Г, ц), Р2(х, Г?) равномерно по I 6 А согласно теореме 5.4 гл. I удовлетворяют условию Липшица по ту 6 М2 , имеем:
1(ек) = J 1х,и)аи(ек 1х,иек) + Р2(£* 1х,и)а2»(е^ 1®,гб£к)|х Я
хср^иъ^х + а(ек), где а(ек) -» 0 при -> 0. Следовательно,
1(ек) = ! {р1(£-х,н)апК1х,и) + Р2(£-1т,и)а2,(£-Ж,н)}х