Тонкая трехмерная пластина со сменой краевых условий на боковой поверхности

• Автор: Изотова, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 92 с.

Оглавление.
Оглавление
Введение
Глава 1

Введение к главе 1

§1. Плоская задача теории упругости

§2. Квазистатический рост трещины

Глава 2

Введение к главе 2

§1. Постановка задачи

§2. Формальное асимптотическое разложение

§3. Трехмерный пограничный слой
Глава 3
Введение к главе 3
§1. Глобальное асимптотическое приближение и его обоснование
§2. Упрощенные асимптотические формулы и их следствия
Глава 4
Введение к главе 4
§1. Вычисление специальных степенных решений однородной задачи для бигармонического уравнения
§2. Специальные решения неоднородных задач
§3. Системы Ламе
§4. Доказательство теоремы 2.4
Заключение
Литература
Typeset Ьу Дд^-ТеХ

ВВЕДЕНИЕ.
1. Теория тонких пластин. Первые классические работы С. Жермен (1814) и Г. Кирхгофа (1851) по рассмотрению задач о тонких трехмерных пластинах при помощи двумерных моделей опубликованы более ста пятидесяти лет назад. С тех пор по этой тематике написано большое количество статей. Интерес вызван широчайшей возможностью приложений результатов. Классическая (техническая) теория тонких пластин изложена в книгах [48,49,50,46]. С другой стороны эллиптические краевые задачи в тонких областях, которыми описывается деформация пластин, содержат естественный малый параметр, чем являются привлекательными для асимптотического анализа.
В асимптотической теории важным моментом является получение ” правильного” анзаца, что предопределяет дальнейший успех асимптотического анализа и позволяет найти оптимальные требования к данным задачи. Именно поэтому являются актуальными гипотезы Кирхгофа-Лява, позволяющие предопределять структуру напряженно-деформированного состояния. Однако гипотезы Кихгофа Лява и технические теории тонких пластин обеспечивают равномерное приближение к пространственному полю смещений во всей пластине, но они неверно указывают основные члены асимптотик деформаций и напряжений вблизи боковой поверхности пластины (известные ’’краевые эффекты” — около краев плоское напряженное состояние переходит в плоское деформированное). Этот феномен описывается математическими конструкциями типа пограничного слоя, существующего вблизи боковой поверхности и затухающего при удалении от нее. Этой тематике посвящено большое количество работ [5,7,9,10,23,24,26,27]. Двумерные пограничные слои позволяют ликвидировать невязки остающиеся в краевых условиях на боковой поверхности пластины. Трехмерные слои возникают в связи с локальными особенностями данных задачи (угловыми точками на границе, трещинами, малыми участками защемленной поверхности, сосредоточенными нагрузками). В [52] разработан наиболее общий подход к построению асимптотических анзацев для

решений краевых задач в тонких областях, который легко приспосабливается к задачам теории упругости.
В работах [6,52,51] при построении анзаца решаются последовательно возникающие предельные задачи. В результате выводится двумерная краевая задача на серединном сечении ш 6 К2 пластины $2/, = со х {—Н/2, Л/2), причем последняя возникает в итерационном процессе как условие разрешимости некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке [—1/2,1/2]. Краевые условия на контуре ди> получаются из условия экспоненциального затухания пограничного слоя на бесконечности. Явление пограничного слоя описывается решениями плоской задачи теории упругости в полу-полосе П = ( — 1/2,1/2) хМ+. В публикациях [7,9,16,17,18,23,25,53,54] изучается разрешимость упругой задачи в неограниченной области П.
Получить априорную оценку нормы обобщенного решения задачи теории упругости для ограниченных областей с частично защемленной границей позволяет неравенство Корна, дающее оценки квадратов норм в Ь2 для смещений и градиентов смещений через упругую энергию. Традиционные способы доказательства неравенств Корна [59,40,45,64] дают возможность вычислить соответствующие константы только для достаточно простых геометрических форм. Соответствующей тематике посвящены работы [65] и др. Как показано в [3,15], если в Ь2 -нормы смещений и их производных добавить весовые множители (степени параметра Л, а также степени расстояния до боковой поверхности пластины), неравенства Кориа становятся асимптотически точными, приспособленными к изучению зависимости решений от малого параметра /г и дающими априорные оценки решений задачи в 0/г. При этом множители распределяются таким образом, что позволяют различать продольные и поперечные направления в пластине. Обоснования при помощи неравенств Корна асимптотической точности решений двумерных задач теории тонких пластин приведены в [55,56,27].
Первыми статьями, посвященными математически строгому обоснованию теории пластин Кирхгофа были [61]. В них установлены оценки точности приближения по энергетической норме. Информа-

их построения мало чем отличаются от изложенной в §2 этой главы, поскольку сечение полуслоя сферой 5^ с большим радиусом Л оказывается тонкой областью, ’’высота” которой составляет 0(1), а ’’длина” — О(тгД).
Среди всевозможных степенных решений задачи (1.1.6), помимо решений г3/2ф!(<р), г1/2Ф1 (<р), г“1//2Ф2(<р), (см. (1.1.11)), будут востребованы решения 7Гу = Г2Ф3/2 и г°Ф3/2(<р) с такими угловыми частями (вычисления смотри главу 4):
ф3/2Ы = <Р>
Ф3/2(^) = — (сое 2^-1).
Укажем уточненную асимптотику специального решения ¥ задачи в полуслов
ж(0 = (1-хЫ)2)(1,6^еО{р3/2Ф1Ы + Мр1/2Ф1ы+
+«з/2 Р°ф3/2(^) + с2/01/2Ф2(^) + (2.3.18)
-^/|6“И^1/2ф20(^)} + ^Ю-Здесь М, С3/2, С2 И бо(г^) — некоторые постоянные,
Ф (<р) = 8Ш -ср,
(2.3.19)
а для остатка IV следующий интеграл сходится при любом >г е (0,1/2):
(Х + Р2)

ИД)| +Я‘ V |^(+?)