Релаксационные колебания некоторых систем Лотки-Вольтерра с временными запаздываниями

• Автор: Перетрухин, Александр Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 76 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Релаксационные циклы математической модели динамики изменения плотности сибирского шелкопряда
§1 Постановка задачи
§2 Доказательство теоремы о существовании релаксационного
цикла
§3 Циклы-утки
Глава II. Релаксационные колебания взаимодействующих популяций по принципу хищник-жертва §4 Постановка задачи о взаимодействии хищника со своей
сильно плодовитой жертвой
§5 Вывод одномерного отображения
§6 Ограничения на параметры задачи, при которых происходит
стабилизация экосистемы
§7 Стабилизирующая роль второго хищника
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена анализу динамических свойств некоторых экологических уравнений, описывающих изменение численности популяций, с позиций теории релаксационных колебаний. Работа состоит из двух глав. В первой главе исследована математическая модель динамики изменения плотности сибирского шелкопряда. Рассмотрены вопросы о существовании релаксационных циклов, которые соответствуют всплескам плотности имаго через год и каждый год. Теоретическое исследование сопровождается результатами численного интегрирования. Во второй главе произведен анализ двух математических моделей популяций, взаимодействующих по принципу хищник-жертва или хищник-хищник-жертва. В каждом случае даны ограничения на параметры задачи, при которых происходит стабилизация экосистемы. В частности, выявлена значительная стабилизирующая роль второго хищника в задаче хищник-хищник-жертва. Исследуемые в работе модели биологических систем требуют для своего изучения как аналитических, так и численных методов.
Популяционная динамика - это активно развивающееся направление математической экологии, которому посвящено значительное количество
публикаций. Коротко остановимся на истории возникновения математических моделей биологических популяций и библиографии литературы, имеющейся по этому вопросу.
Первая математическая модель, описывающая динамику роста численности популяции, была предложена Мальтусом в 1798 г. Согласно его представлениям при благоприятных условиях численность любого вида увеличивается по экспоненциальному закону, т. е.
N = г IV, (М)
где 77(1) - текущая численность популяции, а параметр г - плодовитость, названный в последствии мальтузианским коэффициентом линейного роста.
Закон Мальтуса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными в тех случаях, когда размер популяции не слишком велик. Однако заведомо выходим за границу его применимости при заметном возрастании численности популяции. Связано это с тем, что уравнение (М) совсем не учитывает влияние внутренней обратной связи. На биологическом языке - это главным образом ограниченность доступной пищи и размер территории обитания.
В 1835 г. Л. А. Кетле и П. Ф. Ферхюльст, критически осмысливая
Во-первых, предполагаем, что
Ki{t, е) < N(t,e) < М, —2 — h
(51(e) = Ь - + 2ezoj ехр[-Л(гго + Л)].
Во-вторых, считаем, что iVi(t,£:) монотонно убывает при
—2 - h + 61(e)
^(е) = In- + 2s(zq + h)j exp[—Xzq -f- 3exp( — Xh)].
В-третьих, считаем справедливой оценку
Ni(t, е) < £ <

m0(2+h-5ie)+tj ^ _2 _ h +8(e) exp [^(1 + h - £U0 +1)], < t < -1 - h -t- £Щ,
где о способе выбора положительной постоянной то скажем позднее.
В-четвертых, предполагаем, что
iVi(t, е) < Cqs, t -f- 1 4- h < evo,
где о способе выбора постоянной Со > 1 также скажем в последующем.
Через S2 обозначим совокупность таких непрерывных и неотрицательных функций 7У2(1,е)., определенных при — 1 < t < 0, что