Зависимость критических степеней некоэрцитивных краевых задач от граничных условий

• Автор: Володин, Юрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение
Г лава 1. Бигармоническое неравенство во внешности шара
1.1. Описание метода пробных функций
1.2. Задачи с бигармоническим оператором во внешности шара с краевыми условиями первого типа
1.3. Задачи с бигармоническим оператором во внешности шара с краевыми условиями второго типа
1.4. Сингулярные полулинейные бигармонические неравенства в шаре
Г л а в а 2. Полулинейные краевые задачи высокого порядка
2.1. Модельная задача
2.2. Неравенства с общей правой частью
2.3. Системы неравенств
Г л а в а 3. Эволюционные задачи высокого порядка
3.1. Вспомогательные результаты
3.2. Эволюционные краевые задачи высокого порядка во внешности шара
Список литературы

Введение
Общая характеристика работы
В настоящее время большой интерес вызывают задачи, связанные с исследованием отсутствия нетривиальных глобальных решений нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств. Данная тема разрабатывается, в частности, группами под руководством чл,-корр. РАН С.И. Похожаева (Математический институт им. В.А. Стек-лова РАН), проф. В.А. Кондратьева (Московский государственный университет). Ряд прикладных аспектов исследуется коллективом ученых, возглавляемого одним из крупнейших британских специалистов в области прикладной и вычислительной математики проф. Крисом Баддом (Chris Budd), University of Bath.
В диссертации установлены следующие результаты:
1. Метод пробных функций разработан применительно к изучению краевых задач во внешности шара.
2. Методом пробных функций найдены необходимые условия существования глобальных решений для нелинейных краевых задач во внешности шара.
3. Изучена зависимость критических показателей краевой задачи от условий на границе области. При этом рассмотрены различные варианты краевых условий.
Во всех основных теоремах приведены примеры, демонстрирую-

щие неулучшаемость полученных условий существования решений.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].
В целом результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ под руко- водством проф. A.A. Амосова и Ю.А. Дубинского, на семинаре матема-
тического института В.А. Стеклова под руководством проф. С.И. По-хожаева и В.А. Кондратьева, на научном семинаре кафедры высшей математики РГСУ, отдельные части диссертации доложены на международных конференциях: “Современные проблемы математики, механики и информатики” в ТулГУ, Тула, 2002; “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, памяти И.Г.Петровского, МГУ, Москва, 2007; а также на всероссийских конференциях: “Современные проблемы математики, механики и информатики”, ТулГУ, Тула, в 2001 и в 2002 годах; на ежегодных математических чтениях “Математические методы и приложения”, Руза, в 2005 и 2006 годах; “Математическое моделирование социальных процессов и современные образовательные технологии” в рамках VII Международного социального конгресса, Москва, РГСУ, 2007.
Тематика диссертации очень актуальна, ей посвящено множество работ. Исторически одной из первых была изучена задача Коши для параболического уравнения в пространстве х (0, оо), N 3, ди
— ~Au = u<1, a|t=0 = щ(х) > 0. (0.1)
Здесь А — оператор Лапласа: А
Часто рассматриваются положительные решения данной задачи, что, в частности, диктуется и реальным физическим смыслом (например, температура u(x,L) всегда больше абсолютного нуля).

Теперь, используя полученное соотношение и свойство 5) функции <р, оценим первый интеграл, стоящий в правой части (1.16),
г ИтН

} Ч**~х У 4>ч
зчрр В2рвр
С3р 4ч' теаз(В2р Вр) САрм 4‘7'. (1.22)
Применяя неравенство (1.16) и учитывая свойства 2) и 3) функции <р(т), получим следующее неравенство
I <р |н|9 аж С ( -—ёж + (ЛГ — 2)Л1~ЛГ [ <7х а.
Щ авп
Здесь второе слагаемое в правой части неположительно и его можно отбросить, а тогда, с учетом (1.22), приходим к оценке
<р |н|9 6.x С [ -—М— сЬ; С5рм~44', (1-23)

я В2рвр
справедливой для всех р » /2.
Пусть IV — 4д' < 0, тогда, переходя в неравенстве (1.23) к пределу
при р —> +оо и учитывая при этом свойство 4) функции <р, находим
У&(М) |и(ж)|9ах = 0.

Так как (а(1т|) > 0 для |х| > Я, то это возможно лишь при п = 0 в Бд, что противоречит начальному предположению о нетривиальности данного решения.
Если же N = 4д', то из неравенства (1.23) мы получим, что интеграл от <р |д|9 по В'п равномерно ограничен по р:
J <р ]н|9 ёж С5 < оо.

Так как при всех р > Я будет справедливо тождество <р = £ для Д |ж| р и в силу независимости от р константы С5, имеет место