Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений смешанного и гиперболического типов

• Автор: Кузнецова, Ирина Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 120 с.

Содержание
Введение
Некоторые вводные сведения
1 Глава. Краевые задачи для уравнения Геллерстедта
1.1 Нелокальная задача для уравнения смешанного типа
с вырождением разного рода в конечной области
1.1.1 Постановка задачи для уравнения (1.1.1)
с вырождением второго рода
1.1.2 Доказательство единственности решения задачи
1.1.3 Сведение к сингулярному интегральному уравнению
и доказательство существования решения
1.1.4 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) при т = 0
уравнения Лаврентьева - Бицадзе
1.1.5 Доказательство единственности решения задачи
1.1.6 Получение сингулярного интегрального уравнения
и доказательство существования решения задачи
1.1.7 Постановка задачи для уравнения (1.1.1)
с вырождением первого рода
1.1.8 Доказательство единственности решения задачи
1.1.9 Сведение к сингулярному интегральному уравнению
и доказательство существования решения задачи
1.2 Задачи со смещением для уравнения Геллерстедта
в неограниченных областях
1.2.1 Постановка задачи в области, эллиптическая часть которой
— полуплоскость
1.2.2 Доказательство единственности решения задачи
1.2.3 Получение сингулярного интегрального уравнения и
доказательство существования решения задачи
1.2.4 Постановка задачи Трикоми н области, эллиптическая
часть которой — полуполоеа
1.2.5 Представление решения задачи 1.5 в области эллиптичности
1.2.6 Функциональное соотношение между Тч{х) и щ(х)
в области гиперболичности
1.2.7 Единственность решения
1.2.8 Доказательство существования решения задачи
1.3 Нелокальная задача для уравнения Геллерстедта
гиперболического типа, вырождающегося внутри области
1.3.1 Постановка задачи и доказательство единственности решения

1.3.2 Сведение к интегральному уравнению Фредгольма
и доказательство существования решения
1.3.3 Постановка задачи 1.7 и доказательство
единственности решения
1.3.4 Сведение к сингулярному интегральному уравнению
и доказательство существования решения задачи
2 Глава. Нелокальные краевые задачи для уравнения
Бицадзе — Лыкова
2.1 Задача с обобщенными операторами дробного интегродифферен-цирования для уравнения влагопереноса ( |а| < 1 ), содержащая внешние и внутренние коэффициенты степенного характера
2.1.1 Постановка задачи при |а| < 1
2.1.2 Сведение к интегральному уравнению Вольтсрра
и доказательство однозначной разрешимости
2.1.3 Исключительные случаи ( о = ±1)
2.2 Задачи со смещением для уравнения влагопереноса
с двумя краевыми условиями
2.2.1 Однозначная разрешимость задачи
2.2.2 Однозначная разрешимость задачи
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы исследования. Изучение краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Этот класс уравнений имеет разнообразные приложения в газовой динамике трансзвуковых течений [59], [62], магнитной гидродинамике [19], теории оболочек [9], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [4], математической биологии [37], теории лазерного излучения [35].
Основы теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов заложены в известных работах Ф. Трикоми [57], С. Геллерстедта [64],[65], Ф.И. Франкля [59],[60]. Дальнейшее развитие исследований представлено в работах М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко [3], С.П. Пулькина, М.М. Смирнова и других авторов.
Исследования уравнений с переменными коэффициентами содержат громоздкие вычисления, в связи с чем М.А. Лаврентьев и
A.B. Бицадзе предложили новую модель уравнений [7],[23] (уравнение Лаврентьева — Бицадзе)
ихх + sgny иуу = 0.
Изучению еще одного класса задач, а именно задач со смещением, посвящены работы В.И. Жсгалова [15],[16] и А.М. Нахушева [30], ]31[,[34],[36]—[38]. В постановке этих задач, в отличие от задачи Трикоми, краевое условие связывает значения решения уравнения или его дробной производной в точках, расположенных на характеристиках разных семейств и на линии вырождения уравнения.
Краевые задачи как с локальным, так и нелокальным смещением для гиперболического и смешанного типов уравнений были объектом исследования многих авторов. Отметим работы В.Ф. Волко-давова [10],[11], М.М. Смирнова [54],[55], М.С. Салахитдинова [51], Т.Д. Джураева [14], Е.И. Моисеева [27],[28], С.К. Кумыковой [21],[22],
O.A. Репина [44],[46],[48],[49], К.Б. Сабитова [50], Л.С. Пулькиной [42], [43], P.C. Хайруллина [61], Ф.Г. Мухлисова [29], Н.Б. Плещин-ского [40] и других.
Краевые условия в первых работах по изучению задач со смещением содержали интегралы и производные дробного порядка Римана - Лиувилля. В последующих публикациях в постановке задач применялись операторы, введенные Э. Лавом [66], А. Мак-Брайдом [68],

Для определения индекса % уравнения (1.1.34) рассмотрим функцию
(7(ж) = ——агдС(х) = 0(х) = 2 — 2 агсЬд
Х ' 01 + Ш2 Й1
Выберем
О < ©(0) < 2тг, (1.1.43)
тогда в силу условия (1.1.36)
0(0) = 0(1) = —2 агсЬд

Будем искать решение уравнения в классе функций, ограниченных в точке х = 1 и неограниченных в точке х = 0. Следовательно, индекс уравнения равен
0(1)

+ Но + П

огс£д—

1 + 0-1 = 0. (1.1.44)
На основании утверждения теоремы 30.2 из [52] справедливы следующие теоремы.
Теорема 1.1 Пусть
1) кривая Г совпадает с "нормальной кривой
х _ -(. — ут+2 = -
2/ (т + 2)2 4’
2) (+> У) = у1+1р{х), Тр(х) е С[0,1], 7 > 1 + га,
(ж) 6 ЯА[0,1], 0<а + 1 — /? < А < 1;
5) выполняются условия (1.1.1)-(1.1.44)-
Тогда уравнение (1.1.34) безусловно разрешимо, и его общее решение дается формулой

ф) = Г (£Г (2__£Г Ш-А,
а + 02 п(а + а|) У £/ 1 —£/ £ —г
2(?е
(1.1.45)
до = 1 + — агс!§ —, Д1 = — 1 — — агс!§ ——. (1.1.46)
7Г О] 7Г О!