Поведение решений в окрестности инвариантного тора существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений

• Автор: Боголюбов, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 70 с.

Содержание
Введение
1 Существование расслоения в окрестности инвариантного тора существенно нелинейной системы

1.1 Постановка задачи и основные результаты

1.2 Вспомогательные результаты

1.3 Существование локально-интегральной поверхности в окрестности решения на торе

1.4 Существование расслоения

2 Локальная топологическая сопряженность существенно нелинейных систем в окрестности инвариантных поверхностей, состоящих из точек покоя

2.1 Вспомогательные результаты

2.2 Построение гомеоморфизма

Список литературы

Введение
Изучение структуры множества траекторий в окрестности инвариантных поверхностей нелинейных систем дифференциальных уравнений является одной из актуальных задач качественной теории дифференциальных уравнений. Изучение инвариантных поверхностей началось в работах Пуанкаре и Ляпунова. Понятие инвариантного многообразия ввел Пуанкаре, в его работах это были инвариантные кривые. Он доказал, что если у двумерного аналитического отображения в окрестности неподвижной точки матрица Якоби имеет вещественные собственные числа разных знаков, то у этого отображения существуют инвариантные кривые определенного вида. Ж. Адамар [34] доказал аналогичное утверждение для С1- отображения. Он использовал метод, основанный на изучении преобразований графиков функций из некоторого функционального пространства под действием исходного отображения. Льюис [35] обобщил метод Адамара на случай произвольной размерности.
Одновременно с работами Пуанкаре, к понятию инвариантного (интегрального) многообразия привели и работы А.М. Ляпунова.
Перед тем, как сформулировать результат Ляпунова дадим два определения [29].
Определение ОЛ. Множество М пространства (x,t) называетя интегральным для системы
f = r(M), (0.1)
если для любой точки (жоЛо) £ М выполняется (x(t,to,xo),t) £ М, где x(t,tо, so) есть решение системы с начальными данными t = to, х = xq, a t принимает любое значение из промежутка существования решения.
Пусть F(0,t) = 0, т.е. х = 0 есть решение системы (0.1).

Определение 0.2. Множество М пространства (ж,£) называется локально интегральным в окрестности точки ж = О, если существует такая окрестность II точки х — О, что из включения (жо, £о) £ М следует включение (ж(£,£(ьжо)>£) € М на любом промеэюутке / < £ < для которого Р < £о < {' и ж(£, <о, жо) £ и при / < t < /
Теорема 0.1 (А.М. Ляпунов [20]). Рассмотрим аналитическую систему дифференциальных уравнений

— = А(г)ж + /( х,г), (0.2)
где ||/|| = о(||ж||). Предполоэ/сим, что линейная система
правильная, к ее характеристических показателей отрицательны, а (п — к) - полооюительны. Тогда существует к - параметрическое семейство решений системы (0.2), стремящихся к нулевому решению при Ь —> +оо и образующих локально-интегральное многоообразие.
Теорема о существовании интегрального многообразия системы (0.2) для неаналитического случая была доказана Перроном [36], [37], [38] при более сильном предположении гиперболичности системы линейного приближения.
Рассмотрим систему
= Ах + ф(х,г). (0.3)
Если А постоянная матрица, то ее характеристические показатели совпадают с вещественными частями собственных чисел матрицы А. Случай, когда эти собственные числа не лежат на мнимой оси, называется гипер-

что противоречит неравенству (1.42).
Лемма 1.6 доказана.
Лемма 1.7. ||у(т)|| возрастает, вдоль траекторий в С).
Доказательство леммы 1.7. Так как ||у|| < £, то в силу выбора £х(см. (1.40))
||!/ + «М-т))|| < ео < Щк_р)(143)
Так как ||Дт)|| = ||г/('г)|| и ||у|| < е, то в силу неравенств (1.37), (1.43)
имеем
> Атах{||и(
у||у+ «(т>о(-7-))|г+1|И| >
(1.44)
> д11У + м(¥>о(-г))||
||у+ «(>о(-т))||*||у|| > о.
Лемма 1.7 доказана.
Лемма 1.8. Если решение г(т) = Дт, то, го) с ||го|| < £ таково, что для любого г < То ||’(Т)Н Цу(г)11> то эт0 решение с убыванием т монотонно стремится к началу координат так, что справедлива оценка
Н*(г)|| <
1е0 ||./_м|*
< 1кЫН
1 - £ ( , 2к V к +
'Ы1Г(т-т0)
Vт < т0.
(1.45)
Доказательство леммы 1.8 Вернемся к системе (1.26) с исходным временем £ = —т. Перепишем её в более удобном виде
| У РуЫЫ*)) +ву)<1е | у + Н(у,ф),
= Ь(у,ф)
(1.46)