Эллипсоидальные аппроксимации трубок достижимости управляемых систем при неопределённости

• Автор: Гагаринов, Петр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с. : ил.

Аннотация
В диссертации рассматривается задача вычисления и визуализации трубок достижимости линейных управляемых систем при неопределённое когда на управление и помеху наложены эллипсоидальные ограничения, причем управление берётся и виде обратной связи. Предлагаемый ме тод регуляризации исходной задачи позволяет применить аппарат эллипсоидального исчисления для поиска продолжаемых эллипсоидальных аппроксимаций трубки достижимости в многомерном пространстве.

Введение
Решение задачи управления по принципу обратной связи является центральной в математической теории управления, особенно для систем, функционирующих в условиях неопределенности, конфликта и недостатка информации [30,31,60,86]. Основным стимулом для возникновения соответствующей математической теории явились прикладные задачи управления движением, автоматики, робототехники и.т.д. В настоящее время подобные задачи возникают в моделях управления транспортными потоками, при изучении квантовых процессов, управления энергосистемами, а также в других моделях высоких технологий. Важную роль в решении подобных задач является сведение их к проблеме достижимости для линейных и нелинейных систем.
Настоящая диссертация посвящена задаче оценивания областей достижимости и попятных областей разрешимости для линейных систем при неопределенности с управлением в форме обратной связи. Построение трубок решений, описывающих эволюцию областей достижимости управляемых систем в прямом и попятном времени, является одним из основных подходов к решению задач синтеза управления и гарантированного оценивания для таких систем. Использование метода динамического программирования, развитого Р. Веллманом [23| и Р. Айзексом [22[, в том числе, для систем с неопределенностью, позволяет находить области достижимости как множества уровня функции цены дли соответствующей задачи оптимизации. Такая функция цены является решением уравнения в частных производных типа Гамильтона-Якобп-Беллмана-Апзекса (HJB1). Но в общем случае эта функция цены нередко оказываются не всюду гладкой. Понятия обобщённых решений, таких как вязкостные решения П.Л.Лионса и М.Г. Крендалла [77], а также минимаксные решения А.И. Субботина [65| позволили существенно расширить область применимости данного подхода, однако нахождение таких решений требуют значительно вычислительной нагрузки. В тоже время, для линейных систем с выпуклыми ограничениями, обобщённые решения не обязательны, так как функции цены выпуклы и следовательно всюду дифференцируемы но любому направлению. Их можно точно описать при помощи теории двойственности выпуклого анализа. Использование множеств уровня функций цены, их подробное описание и возможность их вычисления позволили разработать эффективные методы описания их сечений в виде трубок достижимости как многозначных функций. Далее последовала теория аппроксимаций выпуклозначных функций при помощи эллипсоидальных трубок (см. A.B. Куржапский -[4,8-10,12,13,15,41,80]).
Введение
В данной диссертации рассматривается теория аппроксимаций для трубок достижимости при неопределенности. Такие точные трубки в прямом времени имеют самостоятельное значение. В обратном же времени они совпадают по своим основным свойствам с понятиями альтернированного интеграла Л.С. Понтрягниа и моста Н.Н.Красовского. Упомянутый альтернированный интеграл был введён в работах |3,59] при геометрических ограничениях на управление и неопределенность. Дальнейший вклад в изучение свойств данного интеграла внесли М.С. Никольский, Е.Ф. Мищенко, А.П. Пономарев, Е.С. Половинкин, Н.Х. Розов |53] . (Следует заметить, что предложенные методы вычисления этого интеграла приводит к значительным вычислительным трудностям, связанным с необходимостью искать выпуклые оболочки надграфиков разностей опорных функций в многомерном пространстве. Последнее особенно касается систем высокой размерности.). Описание мостов Н.Н.Красовского дано в работах |30,31,09-72,79].
Аппарат эллипсоидального исчисления, разработанный в работах А.Б. Куржанского и его соавторов, позволяет искать трубки достижимости при неопределенности в задаче с непрерывной коррекцией в виде "тугих" внешних и внутренних эллипсоидов (’’касающихся” изнутри вдоль ’’хороших” кривых, определяемых фундаментальной матрицей линейной системы). Подход к вычислениям более трудных внутренних эллипсоидальных оценок трубок е параметрами, являющимися решением обыкновенных дифференциальных уравнений описан в работах ]4,8,9,12,13,15,41,80,87]. Этот поход рассматривался при некоторых условиях невырожденности. Заметим, однако, что поскольку в конструкцию таких тугих эллипсоидальных оценок заложено предположение о равенстве разности опорных функций вдоль направлений касания внутренних оценок и альтернированного множества достижимости, они склонны вырождаться в те моменты, когда данное предположение перестаёт выполняться. Последнее особенно актуально для систем большой размерности при малой размерности управления. Метод регуляризации эллипсоидальных аппроксимаций путем перемешивания нескольких эллипсоидальных оценок, предложенный в работе [82], позволяет преодолеть указанные сложности, в частности и для систем высоких размерностей (п ^ 500). Диссертация же посвящена альтернативному методу регуляризации, основанному на видоизменении структуры самого альтернированного интеграла, для которого получаются новы рождающиеся тугие эллипсоидальные аппроксимации.
Цель работы состоит в поиске способа видоизменения (регуляризации) структуры классического альтернированного множества достижимости таким образом, который бы допускал выбор регулирпзирующпх параметров в процессе численного построения эллипсоидальных аппроксимаций н обеспечивал их продолжаемость, а также в построении оценок, связывающих видоизменённое множество достижимости с исходным.
Основные результаты работы.

Вычисление альтернированных трубок достижимости для линейных управляемых систем при неопределенности
где символом — обозначена геометрическая разность, а Мг = / £(0, М(я))с(5. Данное множе-

ство состоит из точек, которые достигаются из некоторой точки начального множества Х0, с коррекциями управления на основе состояния системы хг в моменты т. при условии, что помеха г>(4) на отрезках Т, = [р-ьТ;) заранее известна в точках т*_1. Множество достижимости минимаксного типа с к коррекциями, в котором в отличие от максимнна помеха у (5) в начале отрезка Тк заранее не известна и управление выбирается в расчете на любую помеху, согласно |8|есть
(2.1.5)
Множествам (2.1.4) и (2.1.5) можно поставить в соответствие их конечно-разностные аналоги Х~(т, іо, Xа, Е*, М( ■)) и Х+(т, *0, Х°, Е*, М( ■)), определяемые из уравнений
К [в] = (Х~[тг] + а(з)5(0,М(тг)) +а(з)Р(тд)-(-а(а)(2(тг)),8 Є Тг+иХ'Щ = ЛЬ, (2.1.6) = (Х:п) + а(з)£(0, М(т,)))-(-а(в)е(т,)) + ст(8)Г(п), з Є Тг.п,Х+[і0] = *„,(2.1.7)
где (т(й) = з - т,(4),г(а) = тах{г > ()|гг ^ й}.
Далее без дополнительных оговорок будем считать автоматически выполненным следующее предположение о непустоте конечных сумм.
Предположение 2.1.1. Предположим что для некоторой непрерывной матричной функции М( ■) ^ 0 и числа (То > 0 существуют непрерывные векторные функции /?+(£) Є К", 5-(і) Є М" и число е > 0 такие, что включения
Ш + ЩО) С Хф(і, *0> Х°, Еь М( ■)), /Д(і) + В,(0) С Х+(і, и>, х°, Еь М(.)), 10 < ^ т,
/3_(0 + ЩО) С ЛГ-(1,40, А^°, Е,, М( ■ )),/3+(0 + ЩО) С *+(і, г0, *п, Е*, і//( •)), Іо ^ ^ г
справедливы для любого разбиения Ед, такого, что <1(Ед,) ^ (тп.
В соответствии с [8] данное предположение позволяет ввести следующее определение альтернированного множества достижимости для функции М (■).
Определение 2.1.2. Альтернированным множеством достижимости Х(т, 1о, Х°, М( ■)) системні (2.1.1) будем называть Хаусдорфов предел макенмшшых множеств достижимости АД (т, 1,0. Xе, Ед., М( ■)) по измельчающимся последовательностям Ед, С Ед+і при (/(Ед.) —> 0.
' 35'