О разрешимости одного нелокального варианта задачи Геллерстедта

• Автор: Моисеев, Тихон Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1.
Нелокальная краевая задача с условием четности.
1. Постановка задачи.
2.Сведение задачи (1.1-1.5) к задачам Трикоми и Неймана-Трикоми.
3. Собственные значения и собственные функции задачи (1.1-1.4).
4.Построение собственной функции в случае , когда спектральный параметр ц2 является собственным значением задачи Трикоми
5.Полнота собственных функций.
6.Исследование разрешимости задачи (1.1-1.5)
ГЛАВА 2.
Решение нелокальной краевой задачи с условием нечетности.
1.Постановка задачи.
2.Сведение задачи (2.1-2.5) к решению смешанной краевой задачи
3.Собственные значения и собственные функции задачи (2.1-2.4)
4.Отсутствие кратных корней у уравнений для собственных значений
5.Построение собственной функции в случае, когда спектральный параметр ц2 является корнем уравнения (2.21)
6.Полнота собственных функций
7.Исследование разрешимости задачи (2.1-2.5)
ГЛАВА 3.
Решение одной нелокальной сопряженной задачи.
1. Постановка задачи
2. Доказательство теоремы 3.1 о единственности регулярного решения
3.Доказательство теоремы 3.2 существования решения
ВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются уравнения смешанного (эллиптико-гиперболического) типа с одной линией изменения типа уравнения и с заданием нелокального краевого условия на границе эллиптической части области. Начало исследованию уравнений смешанного типа положили работы Ф.Трикоми [36,37 ] , который впервые выписал уравнение , ныне носящее его имя , и работа С.Геллерстедта [41] . Ф.И. Франкль [38,39] обнаружил , что уравнения смешанного типа имеют приложения в околозвуковой газовой динамике, теории сопел Лаваля.Им же были поставлены и иелледованы новые краевые задачи для уравнения смешанного типа [40]. На важность приложения уравнений смешанного типа указывали и другие авторы см. [3,8].Тематикой уравнений смешанного типа занимались А.В.Бицадзе [4,5] , К.И.Бабенко [1] и М.М.Смирнов [34].Ими были поставлены и исследованы ряд новых задач для уравнений смешанного типа. Лаврентьев М.А.и Бицадзе A.B. [19 ] предложили для простоты исследования модельное уравнение
(.sgny)uxx + иуу = 0.
В середине 50-ых годов А.В.Бицадзе доказал принцип экстремума для задачи Трикоми и ряда родственных задач. С конца 70-ых годов по инициативе А.В.Бицадзе , Кальменовым Т.Ш.[17,18], Пономаревым С.М.[29] , Моисеевым Е.И.[23] были исследованы спектральные свойства уравнений смешаннного типа ( было доказано, что существует хотя бы одно собственное значение [17] , были указаны области на комплексной плоскости, где отсутствует спектр задачи Трикоми [23], были найдены и выписаны собственные функции , доказана их полнота [29]).
Теорема 1.5 Если функция /(в)— непрерывно дифференцируема и ее производная принадлежит классу Гельдера /'(0) 6 С“[0, тг/2] с некоторым показателем а большим нуля, то ряд определяемый по формуле (1.60) является решением задачи (1.56-1.59) и является равномерно сходящимся в Д)1+ и .Ох- вместе с производной по г.
Доказательство. Непосредственно проверяется , что функция ит удовлетворяет условиям (1.57),(1.58).Проверка условия (1.59) приводит к условию

£ Лт(-1Гх/2с052(т + 1/4)(тг/2 - в)[цУ2т+1/М)] = /(в). (1.62)
771 =
Если мы докажем равномерную сходимость ряда в левой части равенства , то мы построим решение задачи (1.56-1.59).
Исследуем на равномерную сходимость ряд (1.62) . Для удобства изложения введем новые переменные
Ат(— 1) '/2/^2т+1 /2(/^) ~ Вт, Я/2 — 0 =
Из (1.62) получааем явное выражение для Вт в следующем виде

Дт = У/(тт/2-ф/2)кстйф, (1.62')

Кп = С^/гс С1/2/2)

- биортогональная система к (соз2(т + 1/4)^)“. Далее
Ь°т = Н^ (1.63)
Из формулы (11) [24] получаем
н И* I С0Р ПК
т т 2(т - (3/2)тг(2соз(Ф/2)0 ~ тп-(3/2’ ^ ;