Функционализация параметра в задаче о локальных бифуркациях динамических систем

• Автор: Ибрагимова, Лилия Сунагатовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 131 с. : ил.

Глава 1. Бифуркации малых решений операторных уравнений
1.1. Вспомогательные сведения
1.2. Функционализация параметра в задаче на собственные значения
1.3. Функционализация параметра в задаче о бифуркации малых решений
1.4. Доказательства основных утверждений
Глава 2. Локальные бифуркации динамических
систем
2.1. Локальные бифуркации коразмерности один
2.2. Бифуркация двукратного равновесия
2.3. Локальные бифуркации вынужденных колебаний
2.4. Локальные бифуркации автоколебаний
2.5. Бифуркации в дискретных динамических системах
Глава 3. Анализ устойчивости бифурцирующих
решений
3.1. Вспомогательные утверждения
3.2. Устойчивость решений в задаче о бифуркации двукратного равновесия
3.3. Устойчивость вынужденных колебаний
3.4. Устойчивость бифурцирующих решений в дискретных системах
Заключение
Литература
В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений одними из основных являются вопросы о бифуркациях, т.е. вопросы о перестройках фазовых портретов системы при переходе параметров через критические значения. Точкам бифуркации в практических задачах отвечают критические нагрузки в проблемах устойчивости, критические скорости в задачах возникновения волн, критические значения параметров в задаче о возникновении автоколебаний и другие. Теоретическое и компьютерное исследование бифуркаций динамических систем представляет собой важную задачу.
Особый интерес вызывают локальные бифуркации, происходящие в окрестностях особых точек динамической системы. Здесь возможны различные сценарии: бифуркации двукратного равновесия, вынужденных колебаний, автоколебаний, ограниченных решений, инвариантных торов, удвоения периода и др.
Вопросам изучения теоретических и прикладных аспектов различных бифуркаций посвящена обширная литература, восходящая к работам Л.Эйлера, К.Якоби, И.А.Вышпеградского и др. Основы современной теории бифуркации были заложены в работах А.М.Ляпунова [25] и
А.Пуанкаре [29].
Существенный вклад в развитие теории бифуркаций динамических систем внесли А.А.Андронов, В.И.Арнольд, Дж.Гукенхеймер, М.Т.Тере-хин, Ф.Холмс, Э.Хопф, Л.П.Шильников, В.И.Юдович и др. (см. [1]-[4], [7], [9], [15], [26]-[28], [31], [32], [34]-[39], [45], [47], [48], [53]).
В настоящее время теория бифуркаций - одна из наиболее развитых ветвей общего нелинейного анализа. В ней последовательно и достаточно полно изучены многие типы бифуркаций. В теории бифуркаций разработан ряд эффективных методов исследования, таких как метод Ляпунова-Шмидта, метод нормальных форм Пуанкаре, метод инвариантных многообразий и др.(см. [2], [7], [28], [34]). Эти методы позволили провести детальное исследование многих задач о признаках бифуркации, о приближенном построении бифурцирующих решений, о получении их асимптотик, анализа устойчивости и др.(см. [12], [15], [20], [40], [51]).
Специфика задач о бифуркациях динамических систем состоит в том, что эти задачи содержат параметры и бифурцирующие решения обычно существуют при неизвестных априори значениях параметров. При этом, как правило, эти решения образуют непрерывные (по параметрам) ветви, а при фиксированном значении параметра решения могут образовывать связные континуумы. Это снижает эффективность многих, в особенности, приближенных методов исследования.
Для исследования задач с параметрами М. А.Красносельский [15] предложил метод функционализации параметра, суть которого состоит в том, что параметры задачи заменяются некоторыми специально сконструированными функционалами. Это позволяет переходить от задач с конти-нууами решений к эквивалентным в естественном смысле задачам с изолированными решениями. Метод функционализации параметра показал свою эффективность при решении задач о периодических решениях автономных систем, о бифуркации Андронова-Хопфа, о возмущении спектра линейных операторов и др.
Дальнейшее развитие метода функционализации параметра представляет собой важную задачу.
В диссертации разработаны теоретические аспекты метода функционализации параметра в задаче о локальных бифуркациях динамических систем и даны его приложения.
В работе предложен новый метод исследования задач о локальных бифуркациях динамических систем, основанный на конструировании специальных функционалов и позволяющий проводить детальное исследование задачи. Разработана общая схема конструирования линейных функционалов, позволяющая переходить от уравнений с параметрами к эквивалентным уравнениям без параметров и с изолированными решениями.
= —А(Ао)ео — д о
1 Цо(х* - е0, до) , , * 2 Ь о{х е0)
Л(А)(ж* - е0 + е0)
[.Ро А«о
= —Л(А0)е0 - — Л (А) (ж* - е0)[1 - (х* - е0,до) + о( х* - е0)]~
А*о Но
——Л(А)ео[1 - (X* - е0,до) + о(х* - во)]
= —Л(А0)е0 - — Л(А)(ж* - е0) + — Л (А) (ж* - е0)(ж* - е0,д0)~ до до до
——Л(А)е0 + — Л(А)(ж* - е0,д0)е0 + о(х* - е0) = до до
= — (Л(Ао) — Л(А))ео {х* — ео) •+—Л (А) (х* — ео, #о)ео+°{х* ~ ео) •
до до до
Таким образом, учитывая, что жо(А) = ео, получили равенство
е0 х* — —(Л(Ао) - Л(А))ео - — Л(А)(ж* - е0)+ до до
+—Л(А)(ж* - е0, ^0)ео + - е0).

Прибавляя к обеим частям равенства выражение
—Л(А0)(ж* - е0) - — Л(А0)(ж* - е0,д0)е0 до до
получим
е0 - X* + — Л(А0)(ж* - е0) - —Л(А0)(ж* - е0,5о)ео
/^0 /^0
= —(Л(Ао) - Л(А))е0 + — (Л(А0) - л(Х))(х* - е0)-Ао /*о
—— (Л(А0) - ^(А))(ж* - е0,^о)ео + 0(2:* - ео)
= — [Л(А0) - Л(А)][е0 + (х* - е0) - (х* - ео, £0)ео] + Ф* - е0). (1.85) до
Левая часть полученного равенства совпадает с правой частью формулы (1.72) при И = —(ж* — ео). Тогда /г — Гер, где Г - оператор, обратный к

оператору (1.72), а д> - правая часть равенства (1.85). Другими словами, имеем
х* - е0 = Г[Л(А0) - Л(А)][е0 + (х* - е0) - (х* - е0, Зо)е0] + о(х* - е0).