Свойства функции быстродействия и позиционное управление линейной нестационарной системой

• Автор: Николаев, Сергей Федорович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Докритические системы
§ 1. Основные определения и вспомогательные утверждения
§2. Докритичность и неосцилляция
§ 3. Свойства функции сг(£)
§ 4. Численный алгоритм построения функции сг(£)
Глава 2. Структура множества управляемости докритических систем и вектор быстродействия
§ 5. Структура множества управляемости
§ 6. Структура расширенного множества управляемости
§ 7. Численное моделирование границы множества управляемости
§ 8. Вектор быстродействия
Глава 3. Позиционное управление докритической системой
§ 9. Постановка задачи и пример П. Бруновского
§ 10. Позиционное управление докритической системой,
оптимальное в смысле быстродействия
§11. Уравнение Беллмана
§ 12. Позиционное управление нелинейной системой, близкой к докритической
Литература

Введение
Теория оптимального быстродействия, основу которой составляет принцип максимума Л.С. Понтрягина [1]—[4], предоставляет принципиальную возможность построения оптимальных процессов во многих прикладных задачах. Наиболее полно изучена задача быстродействия для линейных стационарных систем (см. [2]—[7] и библиографию в [8]), для которых в ряде случаев удается построить позиционное управление [2, гл. 1, § 5], [5]. Если же изучаемая система оказывается нестационарной, то для таких систем, как правило, строится программное управление [9]—[12]. Вопросы существования и построения позиционного управления достаточно изучены для автономных систем [13] (в том числе для автономных систем с возмущением [14]), тогда как для неавтономных систем эти вопросы изучены достаточно мало [15, гл. 5, § 20], [16].
Рассмотрим задачу быстродействия для управляемой нестационарной системы
x = v(t,x,u), (t,x) £Ш1+п, и EU, (0.1)
где U — компакт в Мт, 0 € U и v(t, 0,0) = 0. Пусть Э = Мх D(t) — некоторая фиксированная область в пространстве R.1+n, 0 Е int D(t).
Определение 0.1. Функцию u(t,x), определенную в области 2) и принимающую значения в U будем называть устойчивым к внешним возмущениям позиционным управлением, оптимальным в смысле быстродействия, если выполнены следующие четыре условия.
1. Для всякой точки (tо,жо) £ ® решение x(t]to,xо) (понимаемое в смысле А.Ф. Филиппова [17, с. 40]) замкнутой системы
X — v(t, X, u(t, X)) определено и единственно при всех t t0.

2. Найдется такой момент времени $(£о,£о)? что
ж(£;£0,£0) = 0.
г=г0+19ро,®о)
3. Программное управление
«(£; *0,*о) = и(г,х(г0,х о)) является оптимальным для задачи быстродействия
$(и(-)) —¥ ШШ, ж = н(£, ж,и), и £ и, (0.2)
ж(£0) = ж0, ж(£0 + $)=О.
Время быстродействия для задачи (0.2) обозначим гп(£о,о)-
4. Для всякого е > 0 найдется такое 5 > 0, что каждой функции ш(£, х) £ О%(0), (£, х) £ Т), и любому у > 0 отвечает функция гу(£,ж) € 0"(ш(£, ж)), (£,ж) £ 2), для которой любое решение
жД£;£о,£о) (в смысле А.Ф. Филиппова) системы
х = г;(£,ж,ц(£,ж)) + (£,ж) £ Э, (£о,ж0) € ©, (0-3)
удовлетворяет равенству жД£; £о, о) |о+?? = 0 при некотором -гД = г,(к,х0) 0, причём |(£0,ж0) - гп(£0,ж0)| < е.
Последнее условие обычно не включается в определение позиционного управления, оптимального в смысле быстродействия, но это условие является важным с точки зрения приложений, поскольку обеспечивает непрерывную зависимость времени быстродействия от возмущений основной системы (0.1). Это условие близко к требованию универсальности стратегии в теории дифференциальных игр, которое впервые введенно Н.Н. Красовским [18] и подробно изучалось в работах Н.Н. Красовского и его учеников [19], [20].
Замечание 0.1. Поскольку всюду в этой работе рассматривается лишь устойчивое к внешним возмущениям позиционное управление, оптимальное в смысле быстродействия, то для краткости это управление будет называться позиционным управлением, оптимальным в смысле быстродействия или просто позиционным управлением.
Рис.
cr(t)
). Зависимость значения a (to) от параметров й2 и аз для системы (2.10), ai(t) = cost, —1 й2 0, — 1 аз 1.