Релаксационная динамика взаимодействия осцилляторов нейронного типа

• Автор: Марушкина, Елена Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Динамика взаимодействия пары осцилляторов типа ФитцХью-Нагумо

1.1. Постановка задачи

1.2. Локальный анализ парциальной системы ФитцХью-Нагумо .

1.3. Локальный анализ пары слабо связанных осцилляторов типа ФитцХью-Нагумо

1.3.1. Построение нормальной формы

1.3.2. Анализ нормальной формы

1.4. Учет запаздывания в цепочке связи осцилляторов

1.4.1. Построение нормальной формы пары осцилляторов ФитцХью-Нагумо с учетом запаздывания в цепи связи

1.4.2. Сценарии фазовых перестроек

1.5. Локальные бифуркации в системе двух осцилляторов Фит-цХью—Нагумо с асимметричным взаимодействием
1.6. Заключение
2. Релаксационные циклы в обобщенной нейронной модели с двумя запаздываниями
2.1. Введение
2.2. Основной результат
2.3. Существование релаксационного bursting-цикла
2.4. Доказательство устойчивости
релаксационного цикла
2.5. Заключение
3. Импульсные пакеты в системах осцилляторов с запаздывающей связью

3.1. Численный анализ системы связанных осцилляторов ФитцХыо-Нагумо
3.1.1. Случай отсутствия запаздывания в цепи связи между осцилляторами
3.1.2. Случай учета запаздывания в цепи связи между осцилляторами
3.2. Статистическая обработка импульсных пакетов. Вычисление статэнтропии
3.3. Заключение
Заключение
Литература
А. Выдержки из программного кода

Введение
Центральная нервная система, включающая головной и спинной мозг, играет ключевую роль в жизни человека. Главной функцией центральной нервной системы является объединение и регулировка основных жизненно важных процессов в организме, таких как обеспечение дыхания (именно головной мозг подает сигнал на начало вдоха), кровообращения, пищеварения, передвижения в пространстве и многих других. Не менее важно то, что в результате прохождения импульсов в нейронах и их перестройки на клеточном и молекулярном уровне (механизмов памяти и нейроплаетичности) формируются мысли, чувства, желания, привязанности, стремления, планы и решения человека.
Нейрон является главной клеткой центральной нервной системы [44]. В организме человека насчитывается более ста миллиардов нейронов. Эта клетка имеет достаточно сложное строение и, хотя формы нейронов многообразны, их основные части неизменны для всех типов. Нейрон состоит из следующих частей: сомы (тела), окруженной липопротеиновой мембраной, и многочисленных разветвленных отростков. У каждого нейрона есть два типа отростков: аксон, по которому возбуждение передается от нейрона к другому нейрону, и многочисленные дендриты, на которых заканчиваются синапсами аксоны от других нейронов.
Аксон представляет собой обычно длинный отросток нейрона, приспособленный только для проведения возбуждения и информации от тела нейрона к исполнительному органу. Дендриты — как правило, короткие и сильно разветвлённые отростки, служащие главным местом образования влияющих на нейрон возбуждающих и тормозящих синапсов, и передающие возбуждение к телу нейрона. Нейрон может иметь несколько дендритов и обычно только один аксон, причем соотношение длины аксона и дендритов может быть различным для разных видов нервных клеток. Синапс — это место контакта между двумя нейронами или между нейроном и эффекторной клеткой, получающей сигнал. Основной функцией синапса является передача нервного импульса между двумя клетками, причём в ходе синаптической

где і = 1,2, г = 1,..., 4, й = ці — медленное время. Под к.с. подразумевается выражение комплексно сопряженное данному в той же скобке, с и с.-> -собственные вектора матрицы линейной части системы, соответствующие собственным числам и гш2.
На третьем шаге алгоритма в результате приравнивания коэффициентов при р3/2 из условий разрешимости задач для іі2і(7 I) среди двухчастотных по і с частотами ш и о;2 функций получим следующую нормальную форму:
Коэффициенты системы могут быть найдены по следующим стандартным формулам (см. [8]):
Ъ = = 1,2, (1п = (2^2(с1,щ5) + 2^2(сьШ1) + 3_Р3(с1,сьС1), ф),
^12 = (2^2(С1,Ш6) + 2^2(С2,Щ4) + 2^2(с2,Ш2) +6^з(с1,С2,С2),Ь1), Фи = (2^2(сь ш4) + 2^2(с2,ш5) + 2А2(с,, ш2) + 6^3(с2, сь с1), Ь2), с?22 = (2^2(с2,Шб) + 2^2(с2,ш3) + 37Гз(с2,с2,с2),Ь2).
Здесь bj — решения соответствующих сопряженных задач, Wj — компоненты решения однородной задачи для Хц(з,Ь) на предпоследнем шаге алгоритма. Поскольку выражения для коэффициентов сф достаточно сложны, для их вычисления использовался программный комплекс МаШетаНса. Выдержки из программного кода и значения данных величин приведены в Приложении А.
Выполнив в системе (1.5.5) полярную замену Zj — Pjeг‘pj, а также ряд стандартных замен (аналогичные замены приведены в предыдущих пунктах этой главы), и выделив амплитудные составляющие, получим следующую систему:
где штрихом обозначена производная но в, £ц и £2 — амплитудные переменные.
При фиксированных значениях параметров системы (1.5.1): е = 0.5, 71 =
0.8, 72 = 0.7, на промежутке изменения ср € (0.3626,1.2074), выбранном исходя из условия существования у характеристического многочлена двух
г[ = 7і*і + №ікі|2 + <1і2г22)2и А = 72^2 + (ФпЫ2 + (І22г22)
(1.5.5)
£1 = (1.5.6)