Численные методы исследования математических моделей геофизики и тепловой диагностики на основе теории обратных задач

• Автор: Боков, Александр Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 172 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Математическое моделирование процессов, описываемых обратными задачами

1.1 Математическое моделирование гидродинамического исследования нефтяных пластов

1.1.1 Гидродинамическое исследование скважин как обратная коэффициентная задача

1.1.2 Единственность решения обратной задачи гидродинамики

1.2 Математическое моделирование тепловой диагностики технических объектов

1.2.1 Задача диагностики технических объектов, подверженных тепловым нагрузкам

1.2.2 Оценка точности приближённого решения обратной граничной задачи тепловой диагностики
1.3 Математическое моделирование процесса регистрации аномалии гравитационного ноля

2 Численные методы решения нелинейных обратных задач

2.1 Методы регуляризации нелинейных обратных задач .

2.1.1 Общая постановка нелинейных обратных задач и метод регуляризации их решения
2.1.2 Обобщённый метод Ь-регуляризации в обратной задаче гидродинамики
2.1.3 Применение обобщённого метода Ь-регуляризации в обратной задаче потенциала
2.2 Аппроксимация регуляризованных решений
2.2.1 Аппроксимация регуляризованного решения операторного уравнения
2.2.2 Конечномерные аппроксимации при численном решении обратной задачи потенциала
2.2.3 Конечномерные аппроксимации при решении обратной задачи гидродинамики
3 Программный комплекс решения обратных задач геофизики и тепловой диагностики
3.1 Дискретные аналоги дифференциальных уравнений
и алгоритмические конструкции
3.2 Программа численного исследования фильтрационной модели нефтяного пласта
3.3 Программа математического моделирования процесса регистрации аномалии гравитационного поля
3.4 Программа математического моделирования процесса тепловой диагностики технических объектов
Заключение
Список литературы
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Численные эксперименты

Введение
Актуальность темы. В научных исследованиях и инженерной практике достаточно часто приходится решать задачи, которые могут быть классифицированы как обратные для уравнений математической физики. Так, например, распределение температуры в некоторой области описывается уравнением теплопроводности. Если известны начальные и граничные условия, а также коэффициент теплопроводности, то значения температурного поля могут быть получены либо аналитически, либо приближённо в ходе численного эксперимента. Такая задача называется прямой для уравнения теплопроводности. Если же необходимо по некоторой информации о распределении температуры в области получить данные о коэффициенте теплопроводности или об отсутствующем граничном условии, то возникающая задача будет существенно отличаться от прямой. Такие задачи называются обратными (например, обратными коэффициентными или обратными граничными).
Принципиальным является то, что большинство обратных задач относится к классу некорректно поставленных, то есть таких, для которых не выполнено хотя бы одно из условий: решение существует в заданном классе функций, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных. Условия корректности были сформулированы Ж. Адамаром в начале XX века [125,126]. Для некорректно поставленных задач, возникающих в приложениях, как правило не

этом уделяется доказательству сходимости метода решения и формулировке условий, обеспечивающих существование и единственность решения. Аналогичные задачи изучались, например, в работах А. М. Денисова [39], а также С. И. Кабанихина [45]). В [45] рассматривалось уравнение несколько более общего вида
ut - (к(х)их)х + q(x)u = О,
с коэффициентами к(х) и q(x), один из которых, q{x), требовалось определить при условии, что другой известен. В данном диссертационном исследовании неизвестна функция а(р), аналог к(х), что существенно отличает задачу (1.1.1)-(1.1.6) от указанных.
Сделав в уравнениях (1.1.1) - (1.1.6) замену переменной u(p,t) = pip, t) — ро, перейдем к новой задаче
_1 9 рдр ди Мр)Тр (1.1.7)
о’ II o' 3 (1.1.8)
ди{г, дР ()=o, (1.1.9)
u{r0,t) = /(<). (1.1.10)
dp (1.1.11)
где 0 < г0 < р < г, t > 0, fit) = h{t) - ро-
Будем предполагать, что функция f(l) € С2[0, оо) удовлетворяет условиям
/(0) = /'(0) = 0, fit) = 0 при t > to, fit) ф 0 при t > 0,
(1.1.12)
а функция а(р) удовлетворяет условию (1.1.5) и
<т(р) е С2[г0,г]. (1.1.13)