Потраекторно-детерминированный подход к исследованию стохастических моделей управляемых систем

• Автор: Исмагилов, Нияз Салаватович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Постановка задачи
1.1 Общая постановка задачи
1.2 Модель управления намоткой провода при случайных возмущениях коэффициента трения
1.3 Оптимизация расходов при планировании производства
1.4 Модель оптимизации инвестирования и потребления на рынке
с одним рискованным активом
2 Разработка аналитических методов исследования
2.1 Необходимые сведения
2.1.1 Некоторые сведения из стохастического анализа
2.1.2 Симметричный интеграл и дифференциальные уравнения с симметричным интегралом
2.1.3 О детерминированной задаче оптимального управления .
2.1.4 О детерминированной задаче оптимального импульсного управления
2.2 Потраекторно-детерминированный подход к исследованию стохастических моделей управляемых систем с управляемым сносом
2.2.1 Сведение стохастической задачи к классической детерминированной задаче оптимального управления
2.2.2 Модификация детерминированной задачи и неупрежда-емость решений
2.2.3 Некоторые обобщения
2.2.4 О стохастическом подходе к задачам с нотраекторным дифференциальным ограничением
2.3 Потраекторио-детермипировапный подход к исследованию стохастических моделей с управляемой диффузией
2.3.1 Сведение стохастической задачи к потраекторно-детерминированной задаче оптимального импульсного управления
2.3.2 Модификация детерминированной задачи и неупрежда-емость решений
2.3.3 Обобщение результатов
3 Численно-аналитическое решение и моделирование тестовых примеров
3.1 Моделирование траекторий винеровского процесса
3.2 Численно-аналитическое решение задачи моделирования управления намоткой провода
3.3 Численно-аналитическое решение задачи моделирования планирования производства
3.4 Численно-аналитическое решение задачи моделирования оптимального инвестирования и потребления
Заключение
Список литературы
Приложение. Листинги программ

Введение
Актуальность темы
В различных сферах человеческой деятельности встречаются физические, химические, биологические, экономические и иные системы, состояние которых изменяется со временем. При моделировании таких процессов, для описания динамики изменения состояния применяют дифференциальные уравнения. Обычно в роли таковых выступают обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут описать гладкое, либо кусочно-гладкое движение. Существует класс систем, которые могут быть подвержены управляемому внешнему воздействию, изменяющему состояние системы и характер ее эволюции. Наличие возможности воздействия порождает естественную задачу выбора такого воздействия, которое бы давало наилучший в каком-либо смысле результат. Иными словами, возникает задача оптимального управления. Решение задачи оптимального управления позволяет максимизировать извлекаемую из поведения системы выгоду или минимизировать возможные потери, например, максимизировать прибыль финансовой организации, максимизировать пройденное расстояние средством передвижения, минимизировать энергетические либо финансовые затраты предприятия, минимизировать время достижения объектом конечной цели и так далее.
В реальности, однако, часто встречаются системы, динамика эволюции которых зависит от случайных факторов и носит негладкий характер, поэтому плохо поддается описанию обыкновенными дифференциальными уравнениями, либо не поддаются таковому вообще. Кроме того, и величина приносимого выигрыша от управления является случайной величиной. В большинстве случаев зависимость от случайных факторов носит характер «шума» и такие системы называют «зашумленными». Зашумленные системы имеют негладкие траектории фазовых координат, которые зачастую могут быть описаны стохастическими дифференциальными уравнениями. Так как будущее пове-

няется обыкновенному дифференциальному уравнению
с1Р[}{!,) = г{1)Р0(Ь)(И, Р0( 0) = ро,
где г(/,) — процентная ставка. Очевидно, что Ро(Ь) растет со временем неслучайным образом, поэтому этот вид вклада называется безрисковым.
Стоимость рискового актива предполагается изменяющейся по модели, предложенной Мертоном [59] и Блэком и Шоулсом [36], согласно которой стоимость Рх(£) рискового актива (стоимость акции) задается стохастическим дифференциальным уравнением
сЩ(г) = РХ(ЩР)М + афРхфШи Р,(0) = рг > 0, (27)
где Ь : [0, Т] —> И, Ъ{Р) > 0 называется коэффициентом роста. Обычно предполагается, что Ь(Ь) > г(Ь), так как иначе в рисковый актив никто вкладываться не будет. <т(£) : [0,Т] —> И называется коэффициентом волотильности, который отражает колебания стоимости рискового актива Р. Предполагается, что (27) определено на некотором фильтрованном вероятностном пространстве (Г2, X, (Х^>о, Р), на котором задан стандартный винеровский процесс
Пусть обозначает состояние инвестора в момент времени £. Пусть Ао(£) и N1 (£) — число единиц безрискового и рискового активов соответственно. Тогда
Пусть С4 — скорость потребления, тогда за промежуток времени XI состояние инвестора изменится на
^ы-дг ~ Хг = Щ(£) (Ро^ + ХЬ) — 7 оМ) + (£) Pil + XI) — Р1(7)] — СД7.