Правила ветвления аффинных алгебр Ли и приложения в моделях конформной теории поля

• Автор: Назаров, Антон Андреевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 160 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Конформная теория поля и аффинные алгебры Ли

1.1. Аксиоматическая формулировка конформной теории поля

1.2. Конформная теория поля на торе

1.3. Конформная теория поля на области с границей

1.4. Аффинные алгебры Ли в моделях Весса-Зумино-Новикова-Вит-тена

1.5. СовеГмодели конформной теории поля

1.6. Заключение

Глава 2. Разложение сингулярных элементов и рекуррентные соотношения для коэффициентов ветвления

2.1. Рекуррентные соотношения для коэффициентов ветвления

2.2. Примеры вычисления коэффициентов ветвления модулей конечномерных алгебр Ли
2.3. Преимущества рекуррентного алгоритма для коэффициентов ветвления
2.4. Примеры приложений в конформной теории ноля
2.5. Заключение
Глава 3. Коэффициенты ветвления и обобщенная резольвента Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда
3.1. Ортогональная подалгебра и сингулярные элементы
3.2. БГГ резольвента и ветвление
3.3. Заключение

Глава 4. Сплинты корневых систем и функции ветвления
4.1. Вложения и сплинты
4.2. Как стебли определяют функции кратности
4.3. Примеры
4.4. Сплинты классических алгебр Ли
4.5. Сплинты и соотношения для аффинных алгебр Ли
4.6. Заключение
Глава 5. Практические приложения
5.1. Coset-модели и критическое поведение
5.2. Вычислительные методы для теории представлений аффинных алгебр Ли
5.3. Примеры вычислений
5.4. Заключение
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы
Последние тридцать лет конформная теория поля в двух измерениях привлекает большое внимание исследователей. Эта теория используется для описания критического поведения в двумерных статистических системах. Благодаря наличию бесконечномерной алгебры симметрии двумерная конформная теория поля может быть сформулирована аксиоматически. Помимо математической красоты теория обладает огромной практической ценностью - с ее использованием было получено большое количество результатов и численных предсказаний в изучении критического поведения в двумерных системах [1, 2]. Методы двумерной конформной теории поля с успехом применяются также при изучении эффекта Кондо |3, 4] и дробного квантового эффекта Холла [5].
Поиски строгого математического доказательства для предсказаний двумерной конформной теории поля [6] в последние годы привели к большому количеству новых идей и результатов в дискретном комплексном анализе [7-9].
Теория представлений бесконечномерных алгебр Ли является важным инструментом изучения моделей конформной теории поля. Помимо алгебры Вирасоро, наличие которой обязательно в двумерной конформной теории поля, большую роль играют аффинные алгебры Ли. Изучение аффинных алгебр Ли было начато Виктором Кацем и Робертом Муди в 1960-х годах с попытки обобщения классификации простых конечномерных алгебр Ли на бесконечномерный случай [10, 11]. Первоначально интерес к этим алгебрам был связан с модулярными свойствами характеров их модулей [12, 13]. После возникновения двумерной конформной теории поля были предложены модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена [14], а затем и сояеВмодели [15], в

Два расширения д и 0 называются эквивалентными, если существует изоморфизм / : 0 —> 0 такой, что диаграмма коммутирует:
О * 0

г,1 (1.76)

Таким образом пространство Я2(д) - это множество классов 1-мерных центральных расширений 0. Нуль в Я2(д) соответствует тривиальному расширению.
Для алгебры Витта (1.3) существует коцикл
с(ЦДт) ~ ТП)~п,т (1’)
Соответствующее центральное расширение алгебры Витта называется алгеброй Вирасоро. Коммутационные соотношения этой алгебры имеют вид
[ЬпА= 0 (1-78)

[Ди Дп] = (р* ОДг+т Т —(ш т)5т (1.79)
Можно показать, что Н2(УШ) = С и все нетривиальные коциклы пропорциональны с. (Доказательство есть в [59], [39]).
Алгебра петель Ьд = 0®С[1, Я1], соответствующая полупростой алгебре Ли 0, определяется коммутационными соотношениями
[ХЧп, ХЧт] = Ьп+т С%Хк (1.80)

Центральное расширение алгебры петель ведет к возникновению дополнительного члена
[ХНп + ас, ХНт + /Зс] = 1п+т 53 С%Хк + (Х Х*)пйп+т,0с (1.81)

Эта алгебра 0 = 0® <С[£, Я1] ф С с называется (не скрученной) аффинной алгеброй Ли [62], [63, 64], [65].