Однородные изотропные штеккелевы пространства в теории гравитации

• Автор: Филиппов, Альтаир Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 106 с.

Содержание
Введение

1 Введение в теорию штеккелевых пространств

1.1 Уравнения движения пробной частицы в гравитационном поле

1.2 Разделение переменных в уравнении

Гамильтона-Якоби

1.3 Полное разделение переменных и интегралы движения

1.4 Метрики штеккелевых пространств сигнатуры (—,+,+,+)

1.5 Однородные пространства

2 Классификация однородных штеккелевых пространств

типа (3.1)
2.1 Однородные штеккелевы пространства
типа (3.1) — постановка задачи
2.2 Классы метрик, допускаемых однородными
штеккелевыми пространствами типа (3.1)
2.3 Метрики типа А
2.4 Метрики типа В 42 •
3 Классификация однородных штеккелевых пространств
типа (2.1)
3.1 Однородные штеккелевы пространства
типа (2.1)
3.2 Классы метрик, допускаемых однородными
штеккелевыми пространствами типа (2.1)
3.3 Метрики типа А (1 = 0)
3.3.1 Случай 734 ф
3.3.2 Случай 734 =
3.4 Метрики типа В (Ґ ф 0)

3.5 Сводка результатов классификации однородных штеккелевых пространств
типа (2.1)
Заключение
Литература

Введение
Развитие метрических теорий гравитации остается актуальной задачей современной физики, поскольку именно они служат низкоэнергетическим пределом для гравитационного взаимодействия в более общих теориях, в частности, в теориях великого объединения.
На настоящий момент имеется много различных полевых теорий, однако число точно решаемых моделей в таких теориях невелико (см., например, [1-9]). Известно, что точное решение полевых уравнений представляет собой крайне трудную задачу. Это объясняется тем, что в модельных теориях возникают системы уравнений в частных производных, для которых не существует общих методов решения. Имеется набор решений лишь для различных частных случаев [10-19].
Наиболее конструктивным методом получения точных решений является на сегодняшний день метод полного разделения переменных. Его основная идея заключается в сведении дифференциального уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
К настоящему времени установлены условия полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби в произвольном искривленном пространстве [20-24]. Пространство, которое допускает полное разделение переменных в одночастичном уравнении Гамильтона-Якоби, по определению называется штеккелевым. Известно, что принадлежность пространства к классу штеккелевых является также необходимым условием для полного разделения переменных во всех

Запишем уравнения Киллинга для произвольного вектора £г в метрике (2.1).
Интегрирование коммутационных соотношений (2.9) с учетом тождеств Якоби и допустимых преобразований приводят к следующим трем алгебраическим классам и, следовательно, типам зависимости дополнительного вектора Киллинга от игнорируемых переменных хр
2) ат = 0, а Ф 0, тогда /Зтп = 0, «1 можно нормировать на 1 изменением масштаба по оси ж1, получим = 0, £гд = £г + /ЗхМх®,
3) ат ф 0, тогда преобразованием (2.12) можно обратить в ноль константы /Зт", и из тождеств Якоби получим вр = 0. Преобразованием (2.11) константы («2,013) можно привести к виду (1,0). Тогда
1- е°Д+^012 + ^О>з =
2. £°,о + fi + &2£г + &Чз =
3. Ь*е,о + е,1 + а2Ч°,2 + ае,3 + Ь2е,2 + Ь3е,г-еЬ2' = 0.
4- Ь3{°,о + С3Д + а2Ч°,2 + а33?°,з + Ь2£3,2 + £>3£3,з - £°Ь3' =
5. ^о =
6. £2,о + о22^1,2 + о23£з =
7. £3,0 + а23^,2 + а33£з =
8. Ь2е,о + а22е,2 + а23£2,з - £°а22/ =
9. Ьзе,о + ^3,о + «23(С2,2 + £3,з) + а22^3,г + а33£2,з - £°а23' =
10. Ь3£3, о + а23£3,2 + а33£3>3 — £°а33/ =
(2.14)
1) Ор = 0, тогда С,Р = PpqSql
с = 0рд5дгхр + /!(ж°), где /Зт1 = О
(2.15) ■
,i(rrt0r-x
(2.16)
f = /‘(*V
■*/V0'tpat:O+2:
(2.17)