Об операторах Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов с наложением особенностей

• Автор: Градусов, Виталий Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Суперпозиция точечного взаимодействия и потенциала, имеющего степенную особенность

1.1. Обзор методов определения точечных взаимодействий

1.2. Особенности функции Грина оператора Шрсдингера с потенциалом, имеющим степенную особенность

1.3. Метод псевдопотенциала

1.4. Выводы к первой главе

Глава 2. Суперпозиция точечного и кулоновского потенциалов

2.1. Метод псевдопотенциала в случае кулоновского потенциала

2.2. Функция Грина оператора Шрсдингера с обрезанным кулонов-

ским потенциалом
2.3. Выводы ко второй главе
Глава 3. Система электрон-позитрон
3.1. Взаимодействие позитрона и электрона
3.2. Спектр позитрония
3.3. Сечение аннигиляции
3.4. Выводы к третьей главе
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования. Модель точечного взаимодействия, в физической литературе обычно называемого потенциалом нулевого радиуса, широко применяется в современных исследованиях. В основном точечные потенциалы используются для построения моделей межчастичиых взаимодействий в квантовой механике [1]. Среди недавних примеров использования в физике отметим применение к задаче рассеяния позитрона на атоме водорода, где для описания взаимодействия между позитроном и электроном использовался модельный гамильтониан с суммой кулоновского потенциала и одноцентрового точечного потенциала с мнимой константой связи. Последнее необходимо для описания процесса аннигиляции позитрона и электрона в рамках нерслятивистской квантовой механики [2]. В работе [2] и нескольких последующих этот потенциал был определен в виде трехмерной 5-функции, которая добавляется как слагаемое в гамильтониан системы. Введенный таким образом потенциал нельзя использовать как обычный потенциал в уравнении Шрсдингера [3]. Единственным способом его учета в рамках стандартных методов квантовой механики оказывается подстановка 5-функции в формулы кваптовомеханической теории возмущений, что формально оправдывается малостью получаемых поправок.
Однако существуют методы, позволяющие определить точечный потенциал более корректным образом и не прибегать к теории возмущений. Еще в ранних работах [3-5] были предложены два подхода к определению одпоцентро-вых точечных потенциалов в уравнении Шрсдингера. Первый из них состоит в том, что уравнение дополняется сингулярным граничным условием в точке сосредоточения точечного взаимодействия. Второй подход состоит в том, что точечное взаимодействие добавляется в уравнение Шредингера в виде некоторого дополнительного потенциала — так называемого псевдопотенциала, который определяется с помощью функционала, действующего на волновую функцию. Строгое математическое определение оператора Шредингера с точечным взаи-

модействием впервые было дано в работе Березина и Фаддеева [6]. Метод этой работы основан па теории самосопряженных расширений симметричных операторов. Дальнейшее развитие метода связано в основном с работами авторов монографии [7].
Большой интерес для приложений представляет ситуация, в которой од-ноцеитровый точечный потенциал добавляется в оператор Шредипгера в К3 с локальным потенциалом V. Последний может иметь сингулярность в точке сосредоточения точечного потенциала. Речь идет об операторе Шредипгера формального вида — Д + V + “А5”, где слагаемое “А6” символически обозначает точечный потенциал с параметром А, который играет роль константы связи точечного потенциала. Этот оператор может быть определен методом самосопряженных расширений [7-9]. В этом случае оператор вводится с помощью координатной асимптотики функции Грина оператора Шредипгера с потенциалом V. Эта асимптотика в общем случае локального потенциала V из достаточно широкого класса остается неисследованной. Кроме того, метод самосопряженных расширений приводит лишь к таким операторам Шредингера, у которых константа связи А является вещественной. Приведенный выше пример использования точечного потенциала с мнимой константой связи для описания взаимодействия в системе электрон-позитрон показывает необходимость разработки метода корректного определения оператора Шредингера —Д + V + “А<5” с комплексной константой связи А.
Цели и задачи диссертационной работы: Целями данной диссертационной работы являлись разработка методов корректного определения оператора Шредипгера с суммой локального потенциала и точечного потенциала с комплексной константой связи с особенностями в одной и той же точке и разработка формализма для нахождения наблюдаемых системы двух квантовых частиц в физической модели, которая описывается с помощью гамильтониана с суммой потенциала е особенностью и точечного потенциала, па примере системы электрон-позитрон.

Функция ф0 соответствует состоянию рассеяния и является решением уравнения
при г -> оо. Выполняя интегрирование в (1.101) при помощи дельта-функции, приходим к представлению
Теперь можно выразить асимптотику при г -> 0 функции ф, являющейся решением уравнения Шредингера (1.98) с псевдопотенциалом AIT, определенным формулой (1.99), через константу /3. Как будет показано ниже, предел фа при т —^ 0 конечен в случае V £ 23(р, 5) и тем самым нетривиальная часть асимптотики ф в нуле полностью определяется членом, содержащим функцию Грина в (1.104). В результате мы убеждаемся, что асимптотика функции Грина G(r,0,z) при г —>■ 0 имеет определяющее значение при построении формализма точечного потенциала.
Поскольку асимптотическое поведение функции ГринаG(r, 0, z) при г —> О было подробно исследовано в предыдущем разделе, нам остается исследовать поведение фо в нуле. Это может быть сделано на основе следующего интегрального уравнения Липпманна-Швиигера
Хорошо известно [31, 32], что решение этого уравнения существует, выражается в терминах функции Грина формулой
[-Дг + К(г) - к2] фо{г, к) = 0,
(1.102)
которое удовлетворяет асимптотическому граничному условию
фо(г, к) ~ exp (ifc • г) + Аг 1 ехр (ікг)
(1.103)
ф(г, к) = фо(г, к) - AG(r, 0, к2 + Ю)/3.
(1.104)
фо(г, к) = exp(ifc ■ г) - dqG0(r,q,k2+ Ю)У(д)ф0(д, к). (1.105)
dq G(r, q, к2 + іє) exp(ig • к) (1.106)