Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости

• Автор: Руденко, Алексей Иванович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Калининград
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Глава I. Результаты теоретических исследований волновых

процессов в жидкости

§ 1.1. Натурные примеры распространения поверхностных волн

§ 1.2. Линейные поверхностные волны

§ 1.3. Методы изучения нелинейных поверхностных волн

§1.4. Волны Герстнера

§ 1.5. Выводы

Глава 2. Стационарные волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Интегро-дифференциальное

уравнение с кубической нелинейностью для профиля волны

§ 2.1. Физическая и математическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на поверхности идеальной

несжимаемой однородной жидкости конечной глубины

§ 2.2. Линейные поверхностные волны
§ 2.3. Интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной поверхностной волны
и ее характеристик
§ 2.4. Одномерная задача для стационарных волн на поверхности
однородной жидкости конечной глубины
§ 2.5. Исходные тригонометрические представления для решения одномерной задачи с точностью до седьмого приближения и система алгебраических уравнений для коэффициентов тригонометрических
представлений
§ 2.6. Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных
поверхностных волн
§ 2.7. Анализ последовательных приближений и нелинейного дисперсионного соотношения для поверхностных волн

Глава 3. Стационарные волны на горизонтальном сдвиговом течении
однородной жидкости конечной глубины
§ 3.1. Физическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной
жидкости конечной глубины
§ 3.2. Предварительный математический анализ задачи
§ 3.3. Первые интегралы. Решение задачи в линейном
приближении
§ 3.4. Одномерная задача для стационарных волн на горизонтальном
сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины
§ 3.5. Тригонометрические представления для решения одномерной задачи и система алгебраических уравнений для их
коэффициентов
§3.6. Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости.
конечной глубины
§ 3.7. Анализ стационарных поверхностных волн на сдвиговом
течении
Заключение
Литература

Различие типов волн в природе обусловлено определяющей возвращающей силой (гравитация, поверхностное натяжение), структурой динамических уравнений и граничных условий, определяющих основную характеристику волны - дисперсионное соотношение. При рассмотрении волновых движений в несжимаемой жидкости выделяют поверхностные и внутренние волны. Оба типа волн существенно влияют на геофизические процессы, поэтому их изучению уделяют пристальное внимание.
Волны на поверхности жидкости являются одним из самых распространенных видов волнового движения в природе, которые доступны для визуального наблюдения. Характеристики волн зависят от свойств и параметров среды, в которой они распространяются. Среди поверхностных волн выделяют поверхностные гравитационные и короткие капиллярногравитационные волны; среди внутренних волн выделяют внутренние гравитационные волны при произвольном распределении плотности и волны относительно тонкой (по сравнению с длиной волны) границе раздела. Трудности исследования задач теории поверхностных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь, также является неизвестной функцией и подлежит определению. Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению.
Важную роль в процессе развития теории нелинейных волн сыграла задача о стационарных волнах на поверхности идеальной жидкости, впервые рассмотренная Стоксом (1847, 1880), где было предложено два метода ее решения. В дальнейшем исследования Стокса были продолжены многими учеными, в том числе Буссинеском, Кордевегом, де Вризом, Рэлеем, Митчел-

с02==^\(кк)/к.
Результаты выполненного анализа согласуются с результатами п. 2.2.
§ 2.4. Одномерная задача для стационарных волн на поверхности однородной жидкости конечной глубины
В этом параграфе дается новая математическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на поверхности жидкости. Она основана на уравнении (2.3.3) для профиля волны. Кроме того, вводится новая функция (ее физический смысл: это есть значение обратного квадрата скорости на поверхности жидкости). С ее помощью получается следующая система двух одномерных квадратичных уравнений:
(Р-2с21е^Ш(<Р)=и(2.4.1) Решение этой системы позволяет определить профиль стационарной волны и нелинейное дисперсионное соотношение. Новая математическая постановка задачи такая:
Задача. Определить константы с,Ри функции 4=1}((р), У=У((р), удовлетворяющие следующим уравнениям для профиля стационарной волны и ее характеристик:
(р-ъмтр) /я, Щ<р)=0 +
а также условиям периодичности и нулевого среднего: т]((р + Ь) = т1(ср), IV(<р + Ь) = IV(р), Ь = 2п / к, (]г)(<р)) - 0; здесь к - волновое число.
Таким образом, решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сводится к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений. Решение системы далее будем искать с точностью до седьмого приближения по степеням амплитуды основной гармоники.