Исследование двумерных и матричных квантовых моделей методом соотношений сплетения

• Автор: Валиневич, Павел Анатольевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 120 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Сплетение и квантовые интегрируемые модели

1.1. Соотношения сплетения в суперсимметричной квантовой механике

1.2. Соотношения сплетения и интегрируемые спиновые цепочки

Глава 2. Метод сплетения в суперсимметричной квантовой механике

2.1. Факторизация суперзаряда и сплетение второго порядка

2.2. Методы нахождения спектра для моделей со сплетением второго порядка

Глава 3. Частные случаи моделей со сплетением второго порядка

3.1. Общий случай

3.2. Двумерное обобщение потенциалов Пёшля-Теллера
3.3. Двумерные потенциалы Ламе
3.4. Двумерные присоединенные потенциалы Ламе
3.5. Потенциал Разави
Глава 4. Построение Я—матрицы для спиновой цепочки с алгеброй симметрии ич(з£з)
4.1. Алгебра ид(з£п) и соответствующие спиновые цепочки
4.2. Реализация генераторов Г/Дз) в виде разностных операторов
4.3. Построение универсальной Я—матрицы
Глава 5. Факторизация оператора Лакса для алгебры ич{з£п)

5.1. Представление Йордана-Швингера
5.2. Рекуррентное построение оператора Лакса
5.3. Факторизация оператора Лакса
Литература

Введение
Соотношения сплетения вида
ЬX — ХШ, (0.1)
где Ьхд, X - дифференциальные операторы, возникают во многих разделах теоретической физики. Наиболее полезны такие соотношения в задачах, когда требуется найти спектр одного из операторов Ьо- Наиболее типичный пример такой ситуации - решение уравнения Шредингера для гамильтониана некоторой квантовой модели.
Исходя только из соотношений сплетения (0.1) можно получить ряд полезных следствий о связи спектров операторов Ьхг2- Во-первых, если 02 - собственная функция то 0 1 = 2/02 будет собственной функцией Ь с тем же собственным значением. Если на функцию 0 накладываются какие-либо дополнительные ограничения, например, принадлежность определенному классу функций (для операторов типа Шредингера - нормируемость), то спектры Ь и 2 будут различаться, и отличия будут определяться теми функциями 02, которые оператором X выводятся за рассматриваемый класс функций.
Важным моментом для сравнения спектров Ьц2 является анализ нулевых мод сплетающего оператора X. Из (0.1) следует, что, если известны все ноль-моды и}- оператора X : Ход. — 0, к — 1
В случае самосопряженных операторов Хц2 можно рассмотреть также эрмитово-сопряженное соотношение = ХгХТ. Совместно с (0.1) оно приводит к существованию операторов симметрии для каждого из сплетаемых

Предположим также, что и связаны преобразованием подобия (которое также можно интерпретировать как соотношение сплетения):
иікП{к] = НІ2ишЬ (2.1.7)
где Щь - унитарная матрица 2x2. Полученный набор соотношений можно представить следующей схемой:
я<ю йт

ХЯ(1). и н
я(2Н&)
Тогда из (2.1.7) и (2.1.6) следует, что существует сплетение между Я'-0' и Я(°) :
//(0) {дТи*%) = {я1и1к(Гк) я(°), (2.1.8)
а также
(№9іГ) Я(0) = Я(0) (№ Сплетающий оператор
д- = (д+)+ = я+игкдь (2.1.Ю)
является дифференциальным оператором второго порядка по производным, и значит пара гамильтонианов Ц(° Явключена в полиномиальную алгебру суперсимметрии второго порядка (1.1.23).
Ранее в работах [2, 25] делалась попытка получить сплетение второго порядка из сплетений первого более простым способом: сплетающий оператор выбирался в виде
<+ = д+д~, (2.1.11)