Некоторые вопросы квантовых полевых матричных моделей

• Автор: Шишанин, Андрей Олегович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Глава 1.Сравнение планарного и паркетного приближений для матричной модели Ф4 с отрицательным квадратом
массы

§1.1 Нуль-мерные матричные модели и І/АГ-разложение

1.1.1 Планарное приближение в квантовой теории поля

1.1.2 Нуль-мерная матричная модель

1.1.3 Матричная модель Голдстоуна. Квантование в окрестности тривиального вакуума

1.1.3 а. Решение на одном отрезке

1.1.3 Ь. Решение на двух отрезках

1.1.4 Матричная модель Голдстоуна. Квантование в окрестности

нелертурбативного вакуума

1.1.5 Сравнение результатов

§1.2 Планарное паркетное приближение для матричной модели Голдстоуна
1.2.1. Паркетные уравнения и их планарный вариант
1.2.1. а Нульмерная матричная модель Ф4 в паркетном приближении
1.2.2. Случай отрицательного квадрата массы
1.2.2 а. Квантование в окрестности тривиального вакуума
1.2.2 б. Квантование в окрестности непертурбативного вакуума .. .
Глава 2. Матричная многоследовая модель в паркетном

приближении
§2.1. Планарное описание модели с многоследовым членом
§2.2. Планарно- паркетное приближение матричной многоследовой
модели
Глава 3. Решение паркетных уравнений для дву матричной
модели
§3.1. Планарные -паркетные уравнения для двуматричной модели .. 57 §3.2. Описание двуматричной модели с помощью ортогональных
полиномов
§3.3. Несимметричный потенциал
Глава 4. Фазовая структура многоследовой матричной модели
Голдстоуна
§4.1. Представление модели
§4.2. Случай с£=|и£=0 или
§4.3. Обсуждение общего случая
§4.4. Паркетное приближение и симметричное решение в
многоследовой модели
Заключение
Приложение А
Приложение В
Литература
Основным методом изучения квантовой теории поля [1] является теория возмущений, использующая технику фейнмановских диаграмм. Для квантовой электродинамики было выявлено замечательное согласие между теоретическими результами, полученными с помощью теории возмущений, и экспериментальными данными. Однако, как известно, квантовая хромодинамика [2], [3], [4], которая лежит в основе сильных взаимодействий, хорошо описывается теорией возмущений только на малых расстояниях или в области больших импульсов в силу асимптотической свободы. Чтобы описать эту теорию в области малых импульсов, необходимо развитие методов исследования квантовой теории поля, выходящих за рамки теории возмущений. Одним из наиболее применяемых является метод малого параметра по обратному числу степеней свободы системы, известный также как 1 //У-разл ожение. Для калибровочной теории Янга-Миллса [/(ТУ) [5], которая описывает глюонные поля, естественным параметром N является ранг калибровочной группы. Впервые 1/./У-разложение рассматривалось в статистической физике [6].
Из знаменитой работы т’ Хуфта [5] хорошо известно, что в многомерной матричной теории Янга-Миллса в пределе больших N и при наложении определенного условия на константу связи выживают, т.е. дают ведущий вклад в вычисление различных величин, планарные диаграммы. Ими являются такие диаграммы, которые можно нарисовать на плоскости. Для выполнения аналитических исследований необходимо вычислять сумму всех планарных диаграмм. Оценка числа роста планарных диаграмм была сделана в работах канадского математика Татта [7] и группой физиков Ко-

для Е° можно получить следующее представление:
Е°= [ (1х(Х(х)2+дХ(х)4)+}г( [ сіх2(х))2—2 / йх [ сіу 1п |Л(т)—Х(у).
Уо Уо Уо Уо
Вводя плотность распределения собственных значений матрицы н(Л) = с1/(1х, запишем для нее перевальное уравнение:
1 /“2а Г2а нО/ї
~Л 4* 2дХ^ 4- 2НХ / <1ци{ц) д2 = /- ф- . (2.3)
2 У-2а У -2а ^ ~ А
Обозначив двухточечную корреляционную функцию через
1 г2а
И=<-ігФ2>= у УЛа(А) Л2, (2.4)
стандартным способом получим для плотности следующее равенство:
„(А) = /(І + 2Л£> + + ^Л2)/4а2 - А2. (2.5)
7Г 2
Условие нормировки
г» 2а
/za
dXu(X)
•2а
дает
1 — 12ga4 — а2 4^2 •
Исключая D, запишем также условие на а2:
4 g/ш8 + (3g + 4/i)a4 + а2 — 1 = 0. (2.6)
Используя уравнение (2.6), D можно представить как
_ 4ga6 + а4 ,
в=Ьй*- <2-7>
Методом седловой точки вакуумную энергию
E°(g,h)-E°{0,0)= lim -Un Z
^ ' V ' N-^os N