Метод Ковалевской и поиск условий интегрируемости динамических систем

• Автор: Емельянов, Константин Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 67 с. : ил

Оглавление
1 Квазиоднородные системы
1.1 Необходимые определения. Показатели Ковалевской
1.2 Построение формального общего решения
1.3 Теоремы об инвариантах
1.4 Связь с теорией Зиглина и теоремой Пуанкаре
2 Системы с экспоненциальным взаимодействием
2.1 Понятие систем с экспоненциальным взаимодействием
2.2 Вычисление показателей Ковалевской
2.3 Алгебраическая неинтегрируемость псевдоевклидовых систем с экспоненциальным взаимодействием
2.4 Системы с экспоненциальным взаимодействием в пространстве с
метрикой Минковского
3 Тензорные инварианты квазиоднородных систем
3.1 Обозначения и некоторые замечания
3.2 Тензорные инварианты. Теорема Козлова
3.3 Теорема о резонансах на показателях Ковалевской
3.4 Метод поиска тензорных инвариантов
4 Интегрируемость по Биркгофу систем с потенциалом экспоненциального вида
4.1 Интегрируемые по Биркгофу системы с экспоненциальным взаимодействием
4.2 Метод Ковалевской. Первые интегралы
5 Приложение

Введение
Структура работы и полученные результаты
В настоящей работе мы будем изучать квазиоднородные системы ОДУ. Симметрия таких уравнений, связанная с инвариантностью относительно растяжений, позволяет легко провести тест на однозначность общего решения, но, что более интересно, в этом случае возможно сформулировать конструктивные утверждения об инвариантах системы. При рассмотрении формальных полнопараметрических рядов, представляющих общее решение квазиоднородных ОДУ можно получить информацию о степенях однородности первых интегралов, полей симметрий и других тензорных инвариантов.
Помимо введения работа содержит четыре главы и приложение. Оригинальными являются результаты, полученные в главах 2, 3 и 4.
В первой главе мы дадим определение квазиоднородных уравнений и связанных с ними понятий, таких как матрица и показатели Ковалевской. Все определения и теоремы будут проиллюстрированы на простейших примерах. Далее мы приведем известные результаты, составляющие основу ставшей уже классической теории X. Иошиды. И в заключение обсудим представление общего решения вблизи особой точки в виде полнопараметрических обобщенно-степенных рядов, ветвление решений и связь с классическими результатами, такими как теорема Пуанкаре о вырождении периодических решений и теорема Зиглина о ветвлении решений и неинтегрируемости гамильтоновых систем. Квазиоднородные системы являются прекрасной моделью для демонстрации метода Ковалевской и обсуждения лежащих в его основе идей, поэтому глава достаточно объемна.
Вторая глава посвящена системам с экспоненциальным взаимодействием. Изучение таких систем является весьма популярной темой последних десятилетий. В связи с появившимися в космологии приложениями таких систем встает вопрос о возможности перенесения полученных результатов на псевдоевклидов случай. Мы

предъявим методику вычисления показателей Ковалевской произвольных систем с экспоненциальным взаимодействием. Используя эту методику, мы докажем ряд утверждений, из которых, в частности, последует невозможность обобщения на псевдоевклидов случай условий интегрируемости евклидовых систем. Мы покажем также, что знаконеопределенность псевдоевклидовой метрики принципиальна и приводит к ветвлению решений и алгебраической неинтегрируемости. Таким образом, в главе 2 мы применим существующие на сегодня методы исследования к определенному классу систем, что будет служить демонстрацией понятий и методов, описанных в главе 1.
Основным результатом третьей главы будет доказательство теоремы о резонансах на показателях Ковалевской. Сформулированное там утверждение включает почти все известные сейчас теоремы о связи показателей Ковалевской со степенями однородности тензорных инвариантов квазиоднородных систем. Кроме доказательства теоремы и обсуждения некоторых следствий, мы предъявим алгоритм, по которому можно находить полиномиальные инварианты, либо ряды, представляющие собой тейлоровские разложения инвариантов вблизи некоторых точек. Предлагаемый алгоритм мы продемонстрируем на примере поиска первого интеграла в простой системе с двумя степенями свободы. Обсудим также связь между ветвлением решений и несуществованием голоморфных тензорных инвариантов.
В качестве демонстрации теории, развитой в главе 3, в четвертой главе мы вернемся к рассмотрению систем с экспоненциальным взаимодействием и найдем полный набор первых интегралов гамильтоновой системы с четырьмя степенями свободы. Вопрос интегрируемости этой системы открыт уже давно и важен для завершения классификации интегрируемых систем.
Приложение содержит иллюстрации к введению и некоторые громоздкие формулы, которые, будучи выписаны в основном тексте, затруднили бы понимание.
Интегрирование систем ОДУ
Задача интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений относится к классическим, возникла вместе с самим понятием дифференциального уравнения и всегда была важна для приложений.
Первоначально задача понималась буквально: найти явные формулы для неизвестных функций. Уже позднее было введено понятие интегрируемости в квадратурах. При сведении задачи к квадратурам центральную роль играют симметрии

где /З — собственные значения задачи (2.13). Учитывая лемму 3 для доказательства необходимо показать, что все числа су, являющиеся решением линейных алгебраических уравнений:
= 2, і,з = ...т (2.26)
имеют один знак, то есть матрица = с!іа§(сі... ст) знакоопределена. Доказательство состоит в прямом вычислении, например для Сі имеем:
с і -

det М()

2 (ai, а2) (ai,a3) . (ai, am)
2 (а2, а2) (a2,a3) . (a2, am)
2 (am, (х2) (am, a3) (ami am)
(2.27)
Условие (2.25) для пространственноподобных векторов означает, что для любых двух из них {щ, аД < 0. Разлагая определитель в (2.27) по первой строке, получаем:
2 det ііДт ^ — (ai, а2) det
2 (a2,a3) .. (a2, am)
2 (am, a3) (am, am)
-{ai,a3)det
(a2,a2) 2 . . (a2, am)
(am,a2) 2 . • (am, am)
(a2, a2) (a2,a3)
) det
(am, a2) (am, a3)
(2.28)
— матрица Грамма системы из т—1 векторов, являющейся подмножеством Д+, следовательно det ф 0. Положительность остальных определителей в
(2.28) доказывается рекуррентно; то, что они имеют вид аналогичный определителю в (2.27) доказывает также лемму 2. При этом формула (2.19) справедлива, если для соответствующей матрицы М^ det М^ ф 0, то есть с^'1 существует. Как и для Ci, для остальных компонент с, положительность соответствующих определителей показывается разложением по г-ой строке. Итак, все с,- отрицательны, что доказывает существование отрицательного собственного значения /3 задачи (2.11). То, что существует /3 < —1/4, следует из известных теорем алгебры об инвариантах квадратичных форм. Теорема доказана. Для доказательства в случае Д_ достаточно рассмотреть гамильтониан — Н. □