Захваты в резонанс и рассеяние на резонансах в некоторых задачах физики плазмы, гидродинамики и классической механики

• Автор: Итин, Александр Павлович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 163 с. : ил

Содержание
Введение.
1. Захваты в резонанс и прохождения через резонансы в динамике заряженных частиц под влиянием однородного магнитного поля и электромагнитных волн.
1.1 Введение.
1.2 Гамильтоновы уравнения движения.
1.3 Редукция в окрестности резонанса.
1.4 Захват в резонанс.
1.5 Рассеяние на резонансе.
1.6 Заключительные замечания.
2. Динамика линий тока в модели плавно-нестационарного конвективного течения.
2.1 Введение.
2.2 Основные уравнения; фазовые портреты.
2.3 Изменения адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису.
2.4 Транспортные свойства.
2.5 Примеры.
2.6 Приложение. Скачок адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису.

3. Резонансные явления в биллиардах с медленно изменяющимися границами.
3.1 Введение.
3.2 Прямоугольный биллиард.
3.3 Эллиптический биллиард.
4. Резонансные явления в кулоновской задаче трех тел.
4.1 Введение.
4.2 Гамильтоновы уравнения движения.
4.3 Динамика в резонансной области.
4.4 Динамика на больших временах.
Заключение.
Литература.

Введение.
Во многих областях физики возникают задачи, в которых динамические переменные можно разделить на "быстрые" и "медленные". Для их исследования часто применяется метод усреднения. Метод усреднения - это общее название для методов теории возмущений, основанных на идее разделения движений на плавный дрейф и быстрые осциллядии. В основном эти методы применяются для исследования поведения динамических систем, отличающихся от интегрируемых малым возмущением.
Исследованием такого рода систем занимались Лаплас, Лагранж и Пуанкаре, новый импульс эти исследования приобрели после выхода работы Колмогорова [1].
Одним из ключевых понятий, используемых при исследовании систем такого рода, является понятие об адиабатическом инварианте (АИ) - величине, приближенно сохраняющейся в процессе движения. Такие "почти сохраняющиеся" величины обнаружил еще Больцман, а термин АИ ввел Эренфест. Подробное изложение истории вопроса приведено в [2].
Адиабатический инвариант можно определить следующим образом. Пусть дана гамильтонова система с одной степенью свободы, зависящая от медленно меняющегося параметра (это соответствует тому, что характерное время его изменения много больше характерного времени невозмущенной системы), либо система с двумя степенями свободы, в которой движение по одной паре переменных ("быстрых") почти периодично и его характерное время много меньше характерного времени изменения других переменных ("медленных"). Тогда некоторая функция называется адиабатическим инвариантом, если в процессе движения ее изменение мало на больших временах (порядка или больше, соответственно, характерного времени изменения параметра или характерного времени изменения медленных переменных). Можно показать (см., например, [3]), что такая гамильтонова

оборотов вдоль ларморовской траектории (малые эллипсы). Затем она захватывается в резонанс и движется вдоль резонансной кривой (больший эллипс). В точке, симметричной точке захвата относительно плоскости р — 0, частица покидает резонанс. Заметим, что на рис. 1.4Ь ларморовские траектории (меньшие эллипсы) немного отличаются друг от друга. Причиной являются небольшие скачки адиабатического инварианта при каждом пересечении резонансной поверхности. Это явление исследуется в следутцем разделе. Изменение I во времени изображено на рис. 1.4с. Частица долгое время движется вдоль адиабатической траектории и ее адиабатический инвариант I изменяется только незначительно. Затем фазовая точка захватывается в резонанс и 1 существенно изменяется. После этого происходит выход из резонанса и продолжается движение с примерно постоянным значением I. Если резонансная кривая является гиперболой или параболой, захваченная фазовая точка может уйти на бесконечность. В процессе такого движения энергия частицы И (см. (1.2)) стремится к бесконечности, и скорость частицы стремится к скорости света. Следовательно, в результате такого движения происходит неограниченное ускорение частицы (так называемое серфотронное ускорение, которое впервые исследовалось в [43] в случае волны, распространяющейся перпендикулярно к магнитному полю). Условие возможности этого неограниченного ускорения может быть получено следущим образом. Поскольку (р2 + q2) —> оо вдоль резонансной кривой, из выражений (1.11), (1.15) следует, что
(1.21)
Поэтому, при |Ь| < dk, т.е. при
(1.22)